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Blatt 11. 
Rotieren eines rechtwinkligen Dreiecks um eine Kathete, als 
auch eines gleichschenkligen Dreiecks um seine Mittellinie zu 
stände kommen. Ein solcher Kegel heißt deshalb auch ein 
Rotationskegel. 
Da der Kegel ein besonderer Fall der Pyramide ist, so 
gilt alles für die Pyramide Gesagte, hinsichtlich der Colli- 
neation der durch Ebenen entstandenen Schnittfiguren, 
auch für den Kegel. 
Jeder Schnitt des Kegels, durch eine Ebene hervor 
gebracht, welche durch seine Spitze geht, ist ein Dreieck. 
Die Schnitte einer Kegelfläche mit den Tafeln heißen 
Spuren der Kegelfläche. 
Auf vorliegendem Blatte ist ein gerader Kreiskegel in 
verschiedenen Stellungen gezeichnet; er ist durch eine Ebene 
geschnitten, und seine Oberfläche ist abgewickelt. 
Fig. 1 zeigt den Kegel mit seiner Bodenfläche auf der 
1. T. aufstehend. Von oben gesehen zeigt er sich als ein 
Kreis, dessen Mittelpunkt die 1. P. der Kegelspitze ist; von 
vornen gesehen als ein gleichschenkliges Dreieck, dessen 
Höhe gleich der Höhe des Kegels ist. Die Basis des Drei 
ecks ist gleich dem 0 der 1. P. An der Bildkontur be 
teiligen sich die 2. P.P. der Erzeugenden as und cs, welche 
hier in wahrer Länge erscheinen. 
Der Kegel soll durch eine Ebene AB, _L zur 2. T. und 
unter einem jC. von 30° zur 1. T. geneigt, geschnitten 
werden; es sind die P.P. der Schnittfläche und ihre wirk 
liche Größe zu konstruieren. 
Da der Schnitt eine Ellipse ergiebt, so ist es notwendig, 
hinreichend viele Punkte von ihr zu bestimmen, um diese 
durch eine Kurve verbinden zu können. Zu diesem Zweck 
teilen wir den Umfang der Bodenfläche in IG gleiche Teile, 
und indem wir diese mit der Spitze verbinden, erhalten wir 
IG Mantellinien. Der Kegel ist nun als eine sechzehnseitige 
Pyramide zu betrachten, und es sind nach der Anleitung zum 
vorhergehenden Blatte die Durchdringungspunkte der 16 Mantel 
linien mit der Ebene AB zu bestimmen, hier aber durch 
eine Kurve zu verbinden. 
Eine kleine Schwierigkeit tritt bei der Bestimmung der 
1. P.P. der Punkte V und XIII ein, da diese auf Mantel 
linien -1 zur A. liegen. Denkt man sich den Kegel durch 
eine horizontale Ebene, durch die Punkte V und XIII 
gehend, geschnitten, so schneidet diese Ebene den Kegel 
nach einem Kreis, der sich in 1. P. in wahrer Gestalt pro 
jiziert. Die 1. P.P. von V und XIII müssen von s i gleich 
dem Radius dieses Kreises entfernt sein, und dieser Radius 
zeigt sich in 2. P. in wirklicher Größe von V und XIII 
aus bis zur Bildkontur bei (V, XIII). 
Statt der Erzeugenden hätte man auch und an manchen 
Stellen sogar zur Erzielung eines genaueren Resultats, hori 
zontale Hülfsebenen anwenden können. Diese schneiden den 
Kegel nach Parallelkreisen und die schneidende Ebene nach 
horizontalen Geraden. Wo in 1. P. diese Geraden die zu 
gehörigen Kreisumfänge treffen, sind Ellipsenpunkte. 
Durch die Verbindung der gefundenen Punkte ergiebt 
sich in 1. P. eine Ellipse, in 2. P. eine Strecke. Die wirk 
liche Größe der Schnittfläche kann durch Umklappen um A 
in die 1. T. oder um B in die 2. T. konstruiert werden. Zu 
beachten ist dabei, daß der Schnittpunkt XVII der Kegel 
achse mit der Ellipsenebene nicht mit dem Mittelpunkt m 
der Ellipse zusammenfällt. 
In Fig. 2 sind die P.P. des Kegels gezeichnet, nach 
dem mit ihm eine Drehung || zur 1. T. um 90° vorgenommen 
wurde. Nach der Stellung in Fig. 3 gelangt man durch 
ein Kippen der Bodenfläche um 45°. Während in den l.P.P. 
der Fig.Fig. 1 und 2 die Bildkontur vom Umfang der Boden 
fläche allein geliefert wurde, beteiligen sich hier zwei Mantel 
linien mit ihren 1. P.P. und nur ein Stück des Umfanges 
der Bodenfläche an der Bildkontur. Es wird diese 1. P. er 
halten, wenn man die 1. P.P. der Bodenfläche (eine Ellipse) 
und der Spitze aufsucht, und von der letzteren an erstere die 
Berührungslinien zieht. Diese sind 1. P.P. von Mantellinien, 
welche aber nicht notwendigerweise zu den von uns schon 
mit Ziffern versehenen gehören, sondern ganz neu auftreten 
und eine Lage zwischen den anderen Mantellinien haben 
können. 
Durch eine abermalige Drehung || zur 1. T. kommt man 
zur Stellung Fig. 4. 
Tn Fig. 5 ist der Kegel anfänglich mit seiner Achse 
J- zur 1. T. und mit seiner Spitze die 1. T. berührend ge 
zeichnet (gestrichelt). Die Aufsicht ergiebt nur einen Kreis ohne 
Mittelpunkt, da man die Kegelspitze von oben nicht sehen 
kann (ein Unterschied gegen die 1. P. von Fig. 1). Der 
Kegel soll II zu einer vorhandenen 3. T. umgelegt werden, 
bis er mit einer Mantellinie auf der 1. T. aufruht. 
Wir bestimmen die 3. P.P. vor und nach der Drehung 
und daraus die neue 1. und 2. P., wie es bei der Pyramide 
in Fig. 5 Bl. 10 geschehen ist. 
In Fig. 6 soll der Kegel durch eine Ebene geschnitten 
werden. Kegel und Ebene sind dieselben wie in Fig. 1, so 
daß auch die gleiche Schnittfigur zu stande kommt. Deren 
P.P. und wirkliche Größe werden auf verschiedenen W r egen, 
die mit jenen von Fig. 6 Bl. 10 übereinstimmen, gefunden. 
Der durch die schneidende Ebene nicht sichtbare untere Teil 
des Kegels ist als unsichtbar behandelt. 
Durch eine Ebene || zur 1. T. wurde schon von Anfang 
an der Kegel nach einem Kreise aßyd geschnitten. Ließe 
man den Ergänzungskegel in allen Stellungen weg, so würde 
auf vorliegendem Blatte ein gerader Kreiskegelstumpf in 
einer Reihe von Stellungen projiziert, durch eine Ebene ge 
schnitten und mit abgewickelter Oberfläche gezeichnet sein. 
In Fig. 7 ist das Netz des Körpers aufgetragen, wo 
bei wir uns den Mantel an der Erzeugenden as aufgetrennt 
denken. Der Mantel eines geraden Kreiskegels wickelt sich 
als ein Kreissektor ab, dessen Radius gleich einer Mantel 
linie (a 2 s 2 Fig. 1) ist. Die Länge des Bogens a—a entspricht 
genau der Länge der Peripherie der Bodenfläche und kann 
durch kleine Teile, genauer aber durch Rechnung, wie folgt, 
übertragen werden. 
Der Radius des Grundkreises ist = 35 mm, daher die 
Länge der Peripherie = 2 • r • tt = 2 • 35 • 3,14 = 219,8 mm. 
Eine Mantellinie hat die Länge = V 35 2 -f- 90 2 = 
96,59 mm. 
Demnach ist die Peripherie eines Kreises mit dem Ra 
dius 96,59 mm = 2 • 96,59 • 3,14 = 606,59 mm. 
Soll auf diesem Umfang eine Bogenlänge von 606,59 mm 
aufgetragen werden, so gehört hierzu: 
606,59:219,8 == 360 :x; ein Centriwinkel von 130,5°. 
Durch Aufträgen eines solchen Centri winkeis — Netz 
winkels — von 130,5° wird daher ein Bogen von 219,8 mm 
Länge herausgeschnitten.