Blatt 12. 
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und Kegel die Ebene der Parabel schneiden, so ist die 
Schnittlinie (L) die Leitlinie der Parabel. 
In die Umklappung sind Brennpunkt und Leitlinie mit 
übertragen worden. Bekanntlich sind die Abstände beider 
vom Parabel Scheitel (S) gleich groß. Für die 1. P. ist s ± (1. P. 
der Kegelspitze) der Brennpunkt der Parabelprojektion, und 
aus der eben angedeuteten Beziehung ist auch die zugehörige 
Leitlinie zu erhalten. 
In Fig. 4 ist durch das Schneiden einer Ebene VW 
eine Hyperbel erzielt worden. Die Ebene VW ist zu den 
beiden Erzeugenden as und bs || (weil W 2 || a 2 s 2 ¡| b 2 s 2 ). 
Eine Ebene durch s || zur Ebene VW schneidet die 
Kegelfläche nach as und bs. Die Mantellinien 
as und bs bedeuten zugleich jenen speciellen 
Fall der Hyperbel, in welchem statt Kurven 
Geraden zum Vorschein kommen. 
Die 1. P. P. der Llyperbeläste erhält man 
wieder am genauesten mit Hülfe von Parallel 
kreisen. Eine Umklappung der Hyperbelebene 
in die 1. T. um I — III als D. A. ergiebt die 
wahre Gestalt der Hyperbel. 
Steckt man zwei Kugeln in den voll 
ständigen Kegel, welche die Mantelfläche (von 
innen nach Kreisen) und die schneidende Ebene 
berühren, so berühren diese Kugeln die Brenn 
punkte (B,B) der Hyperbel. Sie sind ebenfalls 
mit in die Umklappung übertragen worden. 
Um eine Tangente an die Hyperbel im 
Punkte e zu konstruieren, legt man eine Be 
rührungsebene an den Kegel, welche den Kegel 
mantel nach der durch e gehenden Erzeugenden 
s—6 berührt. Deren 1. Sp. ist B. Die B 
schneidet die 1. Sp. der Hyperbelebene in r. Ver 
bindet man r mit e, so erhält man die Tangente 
T, von welcher die 1. P. 1\ und die Umklappung 
T 1 ist. r ist die 1. Sp. von T. 
Stellt man in e 1 auf T 1 eine Senkrechte, 
so ist diese in der Umklappung die Normale 
N im Punkte e. Ihr Schnittpunkt mit der 
verlängerten I — III ist ihre 1. Sp., um welche 
sie gedreht und in ihre richtige Stellung auf 
gerichtet werden kann. 
Ist die Kegelfläche nicht begrenzt, so 
reicht jeder Hyperbelast ins Unendliche. Eine 
Tangente an einem unendlich fernen Punkt 
der Hyperbel heißt eine Asymptote, d. h. 
nie berührende Gerade. Man findet die 
beiden zu einer Hyperbel gehörenden Asymptoten, wenn man 
durch die Kegelspitze s eine Ebene || zur Hyperbelebene legt 
und durch sie den Kegel schneiden läßt, was hier nach den 
Mantellinien as und bs geschieht. Legt man an diesen Mantel 
linien Berührungsebenen an die Kegelfläche, so schneiden diese 
zwei Berührungsebenen die Hyperbelebene nach den beiden 
Asymptoten. Diese gehen von den Schnittpunkten der 1. Sp.Sp. 
der Ebenen aus und treffen sich im Mittelpunkt m der Hyperbel 
(vergleiche auch die Umklappung). Hier gilt auch folgende Be 
ziehung: Man beschreibe um m 1 mit dem Abstand der Brenn 
punkte B—B als 0 einen Kreis und errichte in den Scheiteln 
II und V auf B—B Senkrechte, so müssen die Asymptoten 
durch die Schnittpunkte des Kreises mit den Senkrechten gehen. 
Mit Benutzung der Parallelkreise und der Mantellinien 
ist die Hyperbel (in gleicher Art wie vorher die Parabel) 
in die Abwickelung Fig. 6 übertragen worden. Auch die 
Tangente in e ist in bekannter Weise beigefügt; die Normale 
in e zeigt sich, da sie auf der Kegelfläche J_ steht, hier als 
ein Punkt. 
Um für die Verwandelte der Hyperbel die Wendepunkte 
x und y zu erhalten, wurde von s auf die Llyperbelebene 
eine Senkrechte gefällt und diese verlängert. Da ihre 1. Sp. 
allzuweit nach rechts fällt, wurde eine horizontale Ebene 
(50 mm über der 1. T.) angenommen und der Schnittpunkt 
t der Senkrechten mit ihr bestimmt. Diese Ebene schneidet 
den Kegel nach einem Kreis, dessen 1. P. leicht gezeichnet 
werden kann. Konstruiert man nun von t Tangenten an 
diesen Kreis, so sind u und v die Berührungspunkte. Zieht 
man für u und v die Mantellinien, so schneiden dieselben 
die Hyperbel in den Punkten x und y. In der Abwickelung 
werden x und y die Wendepunkte der Verwandelten der 
Hyperbel. 
In Fig. 5 ist eine Hyperbel erzielt durch den Schnitt 
einer Ebene, welche || zur Kegelachse ist. Die durch die 
Grundflächen der Kegeläste begrenzten Hyperbeläste werden 
hier genau symmetrisch. Um sie in wahrer Gestalt zu 
zeigen, ist die Hyperbelebene als 3. T. aufgefaßt und in die 
2. T. umgeklappt. 
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