Blatt 13. 
53 
zeichnet werden. Jene auf der nördlichen Halbkugel werden 
als nördliche, jene auf der südlichen Halbkugel als süd 
liche Parallelkreise unterschieden. Sie werden vom Äquator 
nach den Polen hin immer kleiner; der Äquator selbst ist 
der größte Parallelkreis; die Pole sind als in einen Punkt 
zusammengeschrumpfte Parallelkreise zu betrachten. 
Zwischen je zwei Parallelkreisebenen liegt eine Kugel - 
zone. Deren Mantel — Stück der Kugeloberfläche zwischen 
zwei Parallelkreisen — heißt ein Zonenmantel. 
Es werden auch Ebenen angenommen, welche die Kugel 
achse enthalten und den Äquator in gleiche Teile schneiden. 
Man nennt sie Meridian ebenen. Sie schneiden die Kugel 
oberfläche nach größten Kreisen — den Meridianen. Alle 
Meridiane schneiden sich in den beiden Polen. Die Hälfte 
eines Meridians — ein Halbkreis von Pol zu Pol — heißt 
ein Halbmeridian. Das zwischen zwei Halbmeridianen 
liegende Stück der Kugeloberfläche bildet ein sphärisches 
Zweieck. 
Der vierte Teil eines Meridians — von einem Pol zum 
Äquator — wird als Meridianquadrant bezeichnet. 
Nimmt man eine Meridianebene als Ausgang, so wird 
die Kugel durch sie wieder in zwei Halbkugeln zerlegt. 
Jene rechts heißt man die östliche, jene links die west 
liche Halbkugel. Die auf ihnen liegenden Halbmeridiane 
lassen sich dadurch als östliche und westliche Halb 
meridiane trennen. 
Eine Kugel projiziert sich auf einer beliebigen Tafel 
stets als ein größter Kreis, so daß alle Kugelprojektionen 
unter sich kongruent sind. 
Stellen wir nun in Fig. 1 eine Kugel mit ihrer Achse 
_L zur 1. T., so daß sie mit ihrem Südpol auf dieser aufruht, und 
konstruieren auf ihrer Oberfläche ein System von Parallel 
kreisen, wobei ein Quadrant in 4 gleiche Teile geteilt ist; 
ferner ein System von 8 Meridianebenen, welche den Äquator 
in sechzehn gleiche Teile teilen, und projizieren diese Kugel 
auf beide T.T., so erhalten wir die hier gezeichneten P.P. 
In 1. P. erscheinen die Parallelkreise als konzentrische Kreise 
um die Pole als Mittelpunkt (die 1. P.P. von Nordpol und 
Südpol decken sich); die Meridiane zeigen sich hier als Durch 
messer. In 2. P. erscheinen die Parallelkreise als || Strecken 
zur A., die Meridiane als Ellipsen, wobei immer die sicht 
bare Hälfte des einen Meridians die unsichtbare Hälfte eines 
anderen deckt. Die Bildkontur wird hier vom Meridian a Ob 
geliefert; er ist zur 2. T. || und führt den Namen Haupt 
meridian. 
■ Die Kugel soll durch eine Ebene AB geschnitten werden. 
Da diese, wie die 2. P. zeigt, durch den Kugelmittelpunkt 
geht, schneidet sie die Kugel nach einem größten Kreise, 
dessen 2. P. ein Kugeldurchmesser, dessen 1. P. eine Ellipse 
ist. Um letztere zu bestimmen, werden die Schnittpunkte 
der Ebene AB mit den Meridianen (oder auch mit den 
Parallelkreisen) aus der 2. P. herabgelotet. Diese Ellipse ist 
zur Hälfte sichtbar, zur Hälfte unsichtbar, und zwar tritt 
der Wechsel an den Berührungspunkten mit der Bild 
kontur ein. 
Jener Teil der Kugel, welcher unter der Ebene AB 
liegt, ist dabei als unsichtbar behandelt. 
Mit Hinweglassung der schneidenden Ebene AB, aber 
mit Beibehaltung der Schnittfigur, soll nun eine Drehung 
der Kugel || zur 2. T. um 45° vorgenommen werden. In 
dieser Stellung Fig. 2 ist das Bild der 2. P. unverändert; 
in 1. P. projizieren sich jetzt auch die Parallel kreise als 
Ellipsen. Die Ebene der Schnittfigur steht nun _L zur A. 
Eine weitere Drehung || zurl.T. um 135° bringt die Kugel in 
die Stellung Fig. 3. Hier sind die P.P. sämtlicher Parallel 
kreise und Meridiane Ellipsen geworden, mit Ausnahme des 
Meridians atir, welcher sich in 1. P. als © projiziert. 
Eine Kugeloberfläche gehört zu den nicht abwickel 
baren Flächen, weil ihre Flächenelemente selbst nicht eben, 
sondern gekrümmt sind und deshalb auch nicht in einer 
Ebene ausgebreitet werden können. Soll sie dennoch in 
Übereinstimmung mit den Oberflächen der übrigen einfachen 
geometrischen Körper abgewickelt werden, so kann dies nur 
mit Annäherung geschehen, und es wird eine solche Kon 
struktion um so besser ausfallen, je mehr Parallelkreise und 
Meridiane man annimmt. 
Man hat für die Abwickelung einer Kugeloberfläche 
drei Methoden: 
1.) Abwickelung nach Zonen. 
Man betrachtet jede Zonenmantelfläche als Mantel eines 
abgestumpften geraden Kreiskegels und wickelt sie in diesem 
Sinne als Kreisringsektor ab. 
In Fig. 4 ist in dieser Weise die Mantelfläche der 
nördlichen Halbkugel abgewickelt. 
Damit dies mit Genauigkeit geschieht, ist eine Be 
rechnung, wozu Trigonometrie gebraucht wird, erforderlich. 
Um den Zonenmantel zwischen dem Äquator und dem 
Parallelkreis 4 abzuwickeln, denken wir uns ihn an dem 
Bogen a 4 aufgetrennt, wobei aber a 4 als gerad angesehen, 
bezw. dessen Sehne für den Bogen genommen wird. 
Die Sehne a 4 erscheint als Kante eines eingeschrie 
benen regelmäßigen Sechzehneckes und wird berech 
net nach der Formel: 
n 
t • * 780° 180° . . 0 , 
wobei r = 5 cm, = ——- = 11 15 ist 
n 16 
log s — log 2 -f- log 5 -j- loij sin 11 0 15' 
log s = 0,3010300 -f 0,6989700 + 9,2902357 — 10 
log s = 0,2902357 
s = 1,9509 = 1,95 cm. 
Der Winkel eines regelmäßigen Sechzehneckes ist: 
16-180° — 360° 
w = 
16 
157° 30 . 
Nun kann man eine Mantellinie p des vollständigen 
Kegels berechnen: 
5 
^ cos 78° 45' 
log p — log 5 — log cos 78° 45' 
log p = 0,6989700 — 9,2902357 -f 10 = 1,4087343 
p = 25,629 — 25,03 cm. 
Wird von p die Sehne s abgezogen, so bleibt die Man 
tellinie des Ergänzungskegels mit x = 23,68 cm übrig. 
Beschreibt man nun mit 25,63 cm und 23,68 cm kon 
zentrische Kreisbögen, so muß auf dem größeren Bogen die 
Länge des Äquators = 2*5-3,14 = 31,4 cm aufgetragen 
werden.