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Blatt ‘i.
7. ) Die Ebene ist schief zu beiden T. T., aber || zur A.,
wie Ebene L M , Fig. 7. Ihre beiden Sp. Sp. sind || zur
A. Die beiden Tafeln sind die beiden P. P.
8. ) In diesem letzten Falle kann es auch eintreten, daß
die Ebene die A. schneidet. Die beiden Sp. Sp. fallen dabei
in die A., erscheinen also nicht als besondere Linien. Man
kann deshalb aussprechen: die 1. T. ist die 1. P., die 2. T.
die 2. P. der Ebene; erhält aber dadurch keine deutliche
Vorstellung von ihr und keinen Begriff von ihren Neigungs
winkeln zu den T. T. Es ist hier deshalb die Einführung
einer 3. T. als Kreuzrißtafel durchaus notwendig, und es
wird sich die Ebene auf ihr als gerade Linie projizieren.
Ebene N, Fig. 8.
ganz in eine T,
liegt in der A.
Fällt eine Ebene
eine P. ; die andere P
so deckt sie ihre
Zwei Ebenen sind entweder || oder sie schneiden sich
nach einer Geraden, und es ist eine wichtige Aufgabe der
darstellenden Geometrie, diese Schnittlinie bei den ver
schiedenen Lagen der beiden Ebenen aufzufinden. Die folgen
den Figuren sollen diesem Gegenstand gewidmet sein.
In Fig. 9 sind zwei Ebenen AB und CD schief zu
beiden T. T. und schief zur A. durch ihre Sp. Sp. gegeben ;
gesucht ist ihre Schnittlinie S.
Eine Gerade ist bestimmt in ihrer Lage durch zwei
ihrer Punkte. Gelingt es, zwei solche Punkte zu finden, von
welchen sich behaupten läßt, daß sie beiden Ebenen AB
und CD gemeinsam sind, so ist die Aufgabe gelöst. Man
hat diese Punkte nur noch geradlinig zu verbinden.
Der Punkt a liegt in der Geraden A und gehört deshalb
der Ebene AB an.* Da er auch in der Geraden C sich
befindet, so gehört er auch der Ebene CD an. Mithin ist
er beiden Ebenen gemeinschaftlich, und es muß durch ihn
die Schnittlinie S gehen. Gleiches läßt sich auch vom
Punkte C behaupten, der den 2. Sp. Sp. B und D der
Ebenen gemeinsam ist, und durch welchen
deshalb S ebenfalls gehen muß. Mithin
ist S in seiner Lage bestimmt.
S erscheint also als Verbindungs
linie im Raume des Punktes a in der
1. T. und des Punktes b in der 2. T.
Um die P. P. von S zu zeichnen, bedenken
wir, daß Punkt a als Punkt der 1. T. bei
seiner 1. P. liegt, und daß er seine 2. P. ±
darüber in der A. hat. Punkt b aber
liegt bei seiner 2. P. und hat seine 1. P. _L
darunter in der A. Durch geradlinige
Verbindung von a v und b l erhält man
demnach S 1 und durch Verbindung von
a 2 und b 2 erhält man S 2 . a und b er
scheinen als die Sp. Sp. der Schnittlinie S.
In Fig. 10 sind zwei Ebenen EF
und GII durch ihre Sp. Sp. gegeben. Die Schnittpunkte
ihrer Sp.Sp. in der A. sind gemeinsam, mithin gehört der
Punkt a beiden Ebenen an, und es muß die gesuchte Schnitt
linie S durch Punkt a gehen.
Da es hier keinen weiteren Schnittpunkt der Sp. Sp.
giebt, so muß man einen anderen gemeinschaftlichen Punkt
beider Ebenen in folgender Weise aufsuchen. Man legt in
beliebiger Höhe eine horizontale Hülfs-
ebene (durch ihre 2. Sp. || zur A.) und
läßt durch sie die beiden Ebenen EF
und GH schneiden, so muß die Schnitt
linie mit EF, nämlich Y || zu E sein,
da die beiden horizontalen Ebenen (die
1. T. und die neu angenommene Ebene)
j| sind und durch die Ebene EF ge
schnitten werden.** Da parallele Geraden
auch parallele P. P. haben, so muß
Y 1 || E± und Y 2 || E 2 sein und Y muß vom
Punkte c ausgehen. Die gleiche Hülfs-
ebene schneidet auch Ebene GH nach Z,
welche || zu G sein und von d ausgehen
muß. Da Y und Z in einer Ebene liegen,
müssen sie sich schneiden, da sie nicht ¡|
sein können, und zwar im Punkte x,
und es ist x x der Schnittpunkt von Y x und Z x , und _L da-
rüber
in
Yo und Z 9 ist
Punkt x ist deshalb beiden
Ebenen EF und GH gemeinsam, da er zugleich auf den
Geraden Y und Z liegt, und Y der Ebene E E, Z aber der
Ebene GII angehört. Die Verbindungslinie ax ist demnach
die gesuchte Schnittlinie S der beiden Ebenen EF und GH.
Ist eine Ebene IK _L zur 1. T. und schief zur 2. T.
* Liegt ein Punkt in einer Geraden einer Ebene, so liegt er
auch in dieser Ebene.
** Zwei parallele Ebenen werden durch eine dritte Ebene
nach zwei parallelen Geraden geschnitten.
