64 
Blatt 20. 
einer Würfelkante liefert den Radius eines Kreises, in welchem 
sich die Würfelprojektion als eingeschriebenes regelmäßiges 
Sechseck mit drei Diagonalen zeigt. In dieser Stellung sind 
alle Würfelkanten und Körperdiagonalen zur 1. T. geneigt 
und projizieren sich daher verkürzt. Nur die Seitendiagonalen 
1—6, 6 — 8, 8—1, 4 — 2, 2 —7 und 7— 4 projizieren sich in 
1. P. in wahrer Länge. 
Fig. 9 giebt das Netz des Körpers, aus sechs Quadraten 
zusammengesetzt. 
3.) Das regelmäßige Oktaeder oder regelmäßige 
Achtflach. 
Seine Oberfläche besteht aus acht kongruenten regulären 
Dreiecken, von welchen je vier an einer Ecke Zusammen 
stößen. Es besitzt sechs Ecken, zwölf Kanten und drei 
Körperdiagonalen. 
Ein Kantenwinkel ist 60°. Die Summe der Kantenwinkel 
an jeder Ecke ist 240°. Ein Seitenwinkel ist 109°28' 16,4"- 
Der Neigungswinkel einer Kante zur anstoßenden Seite ist 
54°44' 8,2”. 
Legt man ein Oktaeder mit einer Seite auf eine T. 
Fig. 10, so projiziert es sich auf dieser als regelmäßiges 
Sechseck mit sechs Diagonalen (vergleiche den Unterschied 
gegen die Würfelprojektion in Fig. 8). Hier erscheint die 
2. P. als Rechteck mit vier eingezogenen Linien. 
Um die P.P. des Oktaeders in dieser Stellung zu kon 
struieren, trägt man zuerst in 1. P. eine Seite in wirklicher 
Größe = einem regelmäßigen Dreieck 1, 2, 3 auf, beschreibt 
um dasselbe einen Kreis und zeichnet in diesen ein zweites 
gleiches Dreieck 4,5,6 symmetrisch zu dem vorigen. Die 
entsprechende Verbindung der Eckpunkte ergiebt die 1. P. 
Legt man durch die Kante 1—5 eine Ebene _L zur 1. T. 
uud klappt sie in die 1. T. um, so erscheint die Höhe des 
Punktes 5 über der 1. T. (— den Höhen der Punkte 4 und 
6) als 5 — 5' in wahrer Größe, wenn 1 — 5' = 1 — 2 gemacht 
wird. Da 1 — 5 in 2. P. = 5 — 5' in 1. P. sein muß, läßt 
sich die 2. P. vervollständigen. 
Ein Oktaeder kann als Bildkontur ein regelmäßiges und 
unregelmäßiges Sechseck, ein Rechteck, einen Rhombus und 
ein Quadrat ergeben. 
Zur Stellung Fig. 11 gelangt man, von Stellung Fig. 10 
ausgehend, durch eine horizontale Drehung. Aus dieser durch 
eine vertikale Drehung, wobei die Diagonale 2 — 4 zur A. _L 
gestellt wird, zur Stellung Fig. 12. In der 2. P. von 
Fig. 12 projiziert sich der Seitenwinkel bei 1, 3 in wahrer 
G röße. 
In Fig. 13 ist zuerst die 2. P. aus Fig. 12 in anfäng 
licher Stellung als 3. P. (gestrichelt) aufgetragen. Nun ist 
von dem Eck 3 die 2. P. angenommen worden. Ferner ist 
3 mit Punkt 1, 3 verbunden. Senkrecht zu dieser Verbindungs 
linie und in durch Maße vorgeschriebenem Abstande wurde 
eine 2. A., für eine auf der 2. T. _L stehende 3. T., gezogen. 
Man findet die zur 3. P. gehörige 2. P., wenn man 
bedenkt, daß sich die Kanten 1 — 3 und 5 —6* hier in wahrer 
Länge zeigen müssen, weil sie zur 3. T. ± und deshalb zur 
2. T. || sind; daß die Kanten 1 — 5 und 3 — 6 zur 2. A. 
laufen, und daß die 2. P.P. der Ecken 2 und 4 in gleichen 
Abständen von den 2. P.P. der Kanten 1 — 5 und 3 — 6 
liegen müssen. 
Aus 2. und 3. P. läßt sich die zugehörige 1. P. kon 
struieren. 
Fig. 14 ist das Netz des Körpers aus acht regel 
mäßigen Dreiecken zusammengesetzt. 
Würfel und Oktaeder stehen in dem Verhältnisse zu 
einander, daß die Mittelpunkte der Würfelflächen die Eck 
punkte eines Oktaeders sind und umgekehrt. 
Blatt 20. 
Dodekaeder (regelmäßiges Zwölfflach) und 
Ikosaeder (regelmäßiges Zwanzigflach). 
Es folgen die beiden noch übrigen Formen der pla 
tonischen -Körper. 
4.) Das regelmäßige Dodekaeder (genauer Pentagon- 
Dodekaeder) oder regelmäßiges Zwölfflach. 
Seine Oberfläche besteht aus zwölf kongruenten regulären 
Fünfecken, von welchen immer je drei an einer Ecke Zu 
sammenstößen. Es besitzt zwanzig Ecken, dreißig Kanten, 
sechzig Seitendiagonalen und hundert Körperdiagonalen. 
Ein Kantenwinkel ist 108°. Die Summe der Kanten winkel 
an jeder Ecke ist 324°. Der Neigungswinkel zweier Seiten 
flächen ist 116°33'54,2". Der Neigungswinkel einer Kante 
zur anstoßenden (verlängerten) Seitenfläche ist 58° 16'57,1". 
Sein im Inneren des Körpers liegender Nebenwinkel ist 
121°43' 2,9". 
Stellt man das Dodekaeder mit einer Seite 1, 2, 3 , 4, 5 auf 
die 1. T., so erscheint diese Seite alé regelmäßiges Fünfeck 
in wirklicher Größe. * Die beiden anstoßenden Seiten 1, 5, 6, 7, 8 
und 4, 5,6,15, 14 denkt man sich um die Kanten 1 — 5 und 
4 — 5 in die 1. T. umgelegt, woselbst sie sich ebenfalls in 
wahrer Größe zeigen. 
Betrachtet man nun diese so nebeneinander liegenden 
Fünfecke als gegeben, so können sie verwendet werden, um 
die P.P. des Körpers zu bestimmen. Es sind nämlich die 
Fünfecke 1, 5, 6, 7, 8 und 4, 5, 6, 15,14 so um ihre Kanten 1—5 
und 4—5 als D. A. D.A. aufzurichten, bis sich ihre Eck 
punkte 6 und 6 in einem Punkt 6 vereinigen, in welcher 
Stellung beide Fünfecke ihre richtige Lage zu einander ein 
nehmen. Fällt man also von 6' im Fünfeck 1, 5, 6, 7, 8 eine 
Senkrechte auf 1—5 und von 6’ im Fünfeck 4,5,6,15,14 eine 
Senkrechte auf 4 — 5, so ist der Schnittpunkt beider Senk 
rechten die 1. P. der Körperecke 6. 
Beschreibt man von m aus einen Kreis durch 6 (1. P.) 
gehend, so liegen auf dessen Peripherie auch noch die 1. P.P. 
aller Eckpunkte von 7 bis 15. Legt man in den um das 
zuerst konstruierte Fünfeck 1,2,3 , 4,5 beschriebenen Kreis aber 
mals ein Fünfeck, aber symmetrisch zu dem vorigen, so ist 
dieses die 1. P. des obersten horizontal liegenden Fünfecks 
16,17,18,10,20. Die 1. P.P. der Punkte 6—15 auf dem äußeren 
Kreise befinden sich auf den senkrechten Halbierungslinien 
der 1. P.P. der Kanten des untersten und obersten Fünfecks. 
* Man konstruiert dieses Fünfeck wie folgt: Zuerst wird die 
Kante 2—3 aufgetragen. Nun beschreibt man von den Punkten 
2 und 3 aus Kreisbögen mit 2—3 als Radius; errichtet in 2 auf 
2—3 eine Senkrechte und erhält den Schnittpunkt a. Wird a mit b 
(dem Mittelpunkt von 2—3) verbunden, mit ab als Radius ein Halb 
kreis beschrieben, so ergeben sich die Punkte c und d auf der Ver 
längerung von 2 — 3. Kreisbögen von 2 und 3 aus mit den Radien 
2d und 3c schneiden die Punkte 1, 4 und 5 aus, welche mit 2 und 3 
entsprechend zu verbinden sind.