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Eine entsprechende Verbindung der gefundenen Punkte liefert 
die 1. P. des Dodekaeders mit einem regulären Zehneck als 
Bildkontur. 
Um die 2. P. des Körpers zu konstruieren, sind zunächst 
für alle Eckpunkte Senkrechte zur A. zu ziehen. Die 2. P. P. 
aller Eckpunkte liegen auf vier Geraden || zur A., von 
welchen jene für die Punkte 1 bis 5 mit der A. zusammen 
fällt. Nimmt man nun eine Ebene mitten durch das Fünf 
eck 1,5,6,7,8 _L zu dessen Grundkante 1 — 5 an, so schneidet 
diese das Fünfeck nach einer Mittellinie e—7. Wird diese 
Ebene seitwärts umgeklappt, so erscheint die Schnittlinie 
als e — (7') in wahrer Länge (= e — 7'). Man erkennt hierbei 
die Höhe des Punktes 6 über der 1. T. = f—(6'), da man 
sich vorstellen kann, der Punkt 6 sei zuerst auf die Hülfs- 
ebene projiziert (nach dem Mittelpunkt der Diagonale 6 — 8) 
und mit dieser umgeklappt worden. Zugleich ergiebt sich 
auch die Höhe von 7 über der 1. T. = 7 — (7’). 
Die 2. P. P. der Punkte 6,8,10,12 und 14 haben über 
der A. gleiche Höhe, nämlich = f—(6'). Die 2. P. P. der 
Punkte 7, 9,11,13 und 15 haben unter sich ebenfalls gleiche 
Höhe = 7— (7'). Den 2. P. P. der Punkte 16 bis 20 giebt man, 
der Symmetrie wegen, dieselbe Flöhe über jenen der Punkte 
7, 9, 11, 13, 15, welche die Punkte 6, 8, 10, 12, 14 über den 
Punkten 1 bis 5 haben. Die Verbindung der gefundenen 
Punkte vervollständigt die 2. P. des Körpers, welche als Bild 
kontur ein nicht regelmäßiges Achteck besitzt. 
Die P.P. der Fig. Fig. 2 und 3 weisen nach, daß der 
Körper auch als Sechseck, Zwölfeck und Zehneck (alle un 
regelmäßig) erscheinen kann. 
Man gelangt zur Stellung Fig. 2 von Fig. 1 aus durch 
eine Drehung || zur 1. T.; von dieser durch eine Drehung 
zur 2. T. nach Fig. 3. Hier ist eine 3. P. auf einer 
Kreuzrißtafel mit Umklappung in die 2. T. konstruiert. 
Fig. 4 bietet das Netz des Körpers. 
5.) Das regelmäßige Ikosaeder oder das regelmäßige 
Zwanzigflach. 
Seine Oberfläche besteht aus zwanzig kongruenten regu 
lären Dreiecken, von welchen je fünf an einer Ecke Zusammen 
stößen. Es besitzt zwölf Ecken, dreißig Kanten und sechs 
unddreißig Körperdiagonalen. 
Jeder Kantenwinkel ist 60°. Die Summe der Kanten 
winkel an einer Ecke ist 300°. Ein Seitenwinke] ist 
138° 11'22,8”. Der Neigungswinkel einer Kante zur anstoßen 
den (verlängerten) Seite ist 69°5'41,4". Sein im Inneren 
des Körpers liegender Nebenwinkel beträgt 110° 54 18,0 . 
Legt man ein Ikosaeder mit einer Seite auf eine T. 
— hier die 1. T. —, so projiziert es sich auf ihr als ein 
regelmäßiges Sechseck mit einem System eingezogener Linien. 
Man konstruiert diese P. in folgender Weise: 
Fig. 5. Zuerst trägt man das in der 1. T. liegende 
regelmäßige Dreieck 1, 2, 3 an und an diesem ein regelmäßiges 
Fünfeck 2, 3, 4', 10', 8’ von derselben Kantenlänge nach der 
Konstruktion in Fig. 1. Es erscheint als Umklappung der 
ebenen Schnittfigur 2,3,4,10,8. Wird dieses Fünfeck um 2 3 
als D. A. aufgehoben, so bewegen sich die Punkte 4,10 und 8 
in Senkrechten zu 2 — 3. In diesen Senkrechten müssen 
die 1. P.P. dieser Punkte liegen; jene von 4 aber auch in 
der senkrechten Halbierungslinie von 1 — 2, jene von 8 in 
der senkrechten Halbierungslinie von 1 — 3 und jene von 10 
auf einem Kreise durch die Punkte 1, 2 und 3. Beschreibt | 
C. Alberti, Darstellende Geometrie. 
man von m aus durch 4 X und 8 X einen Kreis, so liegen auf 
diesem und auch auf den senkrechten Kantenhalbierungs 
linien des Dreiecks 1, 2, 3 auch die 1. P.P. der Punkte 
5, 6, 7 und 9. 
Die 1. P.P. der Punkte 10,11 und 12 liegen als Eck 
punkte eines gleichkantigen Dreiecks auf demselben Kreise 
wie das Dreieck 1, 2, 3, nur symmetrisch zu diesem. 
Durch entsprechende Verbindung der gefundenen Punkte 
vervollständigt sich die l.P. des Körpers. 
Seine 2. P. wird bestimmt, indem man zunächst sämt 
liche Eckpunkte der 1. P. hinauf lotet. Die 2. P.P. von 
1, 2 und 3 liegen in der A. Die Höhe der Punkte 5, 7 und 
9 über der 1. T. findet man, wenn eine Ebene durch 9 
gehend angenommen wird, _L zu 2 — 3 in 1. P. Diese Ebene 
schneidet aus dem Dreieck 2, 3, 9 die Höhe n — 9 = n — 1 
heraus. Durch Umklappen der Ebene in die 1. T. wird mit 
9(9’) (wobei n — (9') = n—1 gemacht wird) die Höhe des 
Punktes 9 und damit auch der Punkte 5 und 7 über der 
1. T. gefunden. Ebenso hoch liegen deren 2. P.P. über der 
A. Die Höhe des Punktes 4 über der 1. T. = 4(4') wird 
bestimmt durch Umklappen von Kante 3 — 4 in die 1. T., 
wobei 3 — (4') = 3 — 2 gemacht wird. Ebenso hoch liegen 
auch die 2. P. P. der Punkte 4, 6 und 8 über der 1. T. 
Die 2. P. P. der Punkte 10, 11 und 12 endlich bestimmen 
sich durch Symmetrie, da sie ebensoviel höher über den 
Punkten 4, 6 und 8 sind, als die Punkte 5, 7 und 9 über 
den Punkten 1, 2 und 3 liegen. Eine richtige Verbindung 
der Punkte vervollständigt die 2. P. 
Die 2. P. erscheint als ein unregelmäßiges Achteck. 
Weitere charakteristische Formen, als unregelmäßige Sechsecke 
und regelmäßiges Zehneck, zeigen die Fig. Fig. 6 und 7. 
Zur Stellung Fig. 6 gelangt man durch eine Drehung in 
wagrechtem Sinne; von ihr durch eine Drehung in senk 
rechtem Sinne zur Stellung Fig. 7. Bei letzterer ist durch 
Annahme einer Kreuzrißtafel (mit Umklappung in die 1. T.) 
auch eine 3. P. bestimmt worden. 
In 2. P. Fig. 6 erkennt man deutlich, daß die Punkte 
1, 5, 7, 11 und 12 in einer Ebene liegen; ebenso liegen 
auch die Punkte 2, 3, 4, 8 und 10 in einer Ebene. Beide 
Ebenen sind ||. Wieder in einer Ebene liegen die Punkte 
2, 3, 5, 6 und 7, und ist dieselbe || zur Ebene der Punkte 
4, 8, 9, 11 und 12. Siehe auch die 3. P. von Fig. 7. 
Fig. 8 zeigt das Netz des Ikosaeders. 
Dodekaeder und Ikosaeder stehen in dem Verhältnisse 
zu einander, daß die Mittelpunkte der Seiten des einen die 
Ecken des anderen sind. 
Außer den vorher behandelten fünf platonischen Körpern 
giebt es noch reguläre Polyeder höherer Art, die poinsot- 
schen Sternpolyeder. 
Fis sind das zwölfeckige Sternzwölfflach und das 
sterneckige Zwanzigflach, welche beide aus dem Dode 
kaeder, sowie das zwanzigeckige Sternzwölfflach und 
das stern eckige Zwölf flach, welche beide aus dem Iko 
saeder abgeleitet werden können. 
Sie haben lauter kongruente reguläre Polygone zu Seiten 
flächen, und es stößt die gleiche Anzahl solcher Polygone an 
jeder Ecke zusammen. Außer den ausspringenden Winkeln 
besitzen diese Körper aber auch einspringende Winkel, und 
sind sie daher nur in weiterem Sinne regulär. 
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