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Blatt 24. 
1. ) Der eine Körper durchdringt den anderen 
vollständig. Dabei wird der Körper dnrchlocht; er besitzt 
nur ein Außenstück. Der andere Körper zerfällt, abgesehen 
von dem Kern, in zwei getrennte Außenstücke. Es entstehen 
zwei getrennte Linienzüge der Durchdringung: die Eintritts 
und die Austrittslinie. 
2. ) Die Körper schneiden sich gegenseitig an 
(oder aus). Jeder Körper hat nur ein Außenstück. Es ent 
steht ein zusammenhängender Linienzug der Durchdringung. 
3. ) Der eine Körper dringt in den anderen ein, en 
digt also innerhalb desselben. Es entsteht ein zusam 
menhängender Linienzug der Durchdringung. Jeder Körper 
hat ein Außenstück. 
In manchen Fällen gehen Durchschnitt, Anschnitt und 
Eindringen ineinander über; es entstehen Übergangsformen. 
Bei besonderen Körperformen und eigentümlichen Stel 
lungen zu einander können sich auch mehrere Kerne, mehr 
als zwei getrennte Linienzüge, Selbstschnitte der Durch 
dringungslinie u. s. w. ergeben. 
Was die Gestalt der Durchdringung betrifft, so hängt 
sie ab von der Gestalt und der gegenseitigen Lage der sich 
d u rch dringenden Körper. 
Durchdringen sich ebenflächige Körper, so wird das ge 
meinsame Stück wieder ein ebenflächiger Körper sein. Die 
Durchdringungslinien sind hier im allgemeinen unebene, ge 
brochene, in sich geschlossene Linienzüge aus lauter geraden 
Stücken zusammengesetzt, da sich ebene Flächen nur nach 
geraden Linien schneiden können. Ein einzelner Linienzug 
der Durchdringung kann als der Umfang einer geradlinig 
begrenzten unebenen Figur betrachtet werden; diese 
Schnittfigur kann allerdings im besonderen Falle auch 
eben sein. 
Durchdringen sich krummflächige Körper, so werden 
die sich ergebenden Linienzüge im allgemeinen stetige in 
sich geschlossene krumme Linien bilden, da sich krumme 
Flächen in der Regel nach Kurven schneiden. Diese Kurven 
haben keine Knicke. 
Durchdringen sich aber ebenflächige und krummflächige 
Körper gegenseitig, so werden die Linienzüge der Durch 
dringung in sich geschlossene gebrochene Kurven bilden, 
welche aus einzelnen stetigen Kurven zusammengesetzt sind, 
da sich Ebenen und krumme Flächen im allgemeinen nach 
Kurven schneiden. Dieser Kurvenzug hat überall da, wo 
eine Kante des ebenflächigen Körpers ihn trifft, einen Knick. 
Den Linienzug der Durchdringung zweier ebenflächigen 
Körper oder Polyeder erhält man, wenn alle Schnittpunkte 
der Kanten des ersten Körpers mit der Oberfläche des zweiten 
und alle Schnittpunkte der Kanten des zweiten Körpers mit 
der Oberfläche des ersten Körpers bestimmt, und diese Schnitt 
punkte in richtiger Weise geradlinig miteinander verbunden 
werden. 
Hierbei gilt als Regel, daß nur zwei solche Punkte mit 
einander verbunden werden dürfen, deren Verbindungslinie 
als Schnittlinie zweier Seiten der Polyeder erscheint. 
Bei der Durchdringung zweier solchen Körper können 
auch besondere Fälle eintreten, indem z. B. ein Eck des 
einen Körpers in einer Seite des anderen liegt, oder zwei 
Kanten beider Körper sieb treffen u. s. f. Es entstehen 
dann Übergänge vom vollständigen Durchdringen zum Aus 
schneiden. 
Da bei der vorher angedeuteten Konstruktion jede Kante 
bei dem Durchdringen zwei Punkte liefert, so werden sich 
im allgemeinen doppelt so viele Durchdringungspunkte er 
geben, als beide Körper zusammen Kanten besitzen. Für 
jede Kante aber, welche eindringt und im Inneren eines 
Körpers endigt, fällt ein Punkt aus. Auch tritt ein Punkt 
anstatt deren vier auf, wenn sich zwei Kanten beider Körper 
schneiden. Für jede Kante, welche am anderen Körper 
vorübergeht, fallen zwei Punkte aus u. dergl. Die anfänglich 
berechnete Zahl der Durchdringungspunkte verringert sich 
deshalb gewöhnlich erheblich. 
Bei der Bestimmung der Durchdringung krumm flächiger 
Körper nimmt man Mantellinien an oder überzieht ihre 
Oberflächen mit Parallelkreisen u. dergl. und sucht die 
Schnittpunkte der Linien des einen Körpers mit der Ober 
fläche des anderen. Die gefundenen Punkte werden aber hier 
durch Kurven verbunden. 
Die Konstruktion der Durchdringung zweier Körper be 
ruht demnach hauptsächlich in der Bestimmung der Schnitt 
linien ihrer Oberflächen. 
Sind die Projektionen zweier sich durchdringenden Körper 
gegeben, so hat man in jedem Falle darauf zu achten, die 
Aufgabe in möglichst einfacher Weise zu lösen und danach 
die Wahl der Methode für die Bestimmung der Durch 
dringung zu treffen. Es sollen in Folgendem in einer Reihe 
von Aufgaben verschiedene solcher Lösungen gezeigt werden. 
Mit Rücksicht auf den Standpunkt des Beobachters 
können nicht alle Teile der Durchdringungslinie sichtbar 
sein. Wir werden die in einer Projektion sichtbaren Teile 
ausziehen, die unsichtbaren dagegen strichpunktieren; das 
zwischen dem Ein- und Austrittspunkte einer Körperkante 
gelegene Stück derselben ziehen wir rot aus. 
Bei der Herstellung des Modells einer Körperdurch 
dringung kann man entweder den einen Körper vollständig 
lassen und ihn durch den anderen hindurchschieben, oder 
man setzt an das gemeinschaftliche Stück — den Kern — 
die Außenstücke beider Körper an und bildet so die Körper 
kombination. 
Die Konstruktion der Körperdurchdringungen ist für die 
praktische Anwendung der darstellenden Geometrie von der 
größten Wichtigkeit; auch ist ihr Studium ein vorzügliches 
Mittel zur Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens. 
Blatt 24. 
Durchdringung zweier Prismen. 
Die Mäntel beider Prismen projizieren sich 
als Linienzüge. 
Es sind in Fig. 1 zw-ei gerade Prismen abcdefghilc 
und 1234, r )6 78 gegeben; es soll ihre Durchdringung kon 
struiert werden. 
Aufzusuchen sind also jene Punkte, in welchen die 
Kanten des einen Prismas in die Flächen des anderen ein- 
dringen und umgekehrt. Man kann deshalb zunächst an 
nehmen, daß man doppelt so viele Durchgangspunkte er 
halten wird, als beide Körper zusammen Kanten besitzen, 
da jede Kante zwei Punkte liefert. Je nach der Gestalt und