Blatt 37.
In dieser Stellung erkennt man den Schnittpunkt; dreht
man wieder zurück, so kommt Punkt IX mit seinen P.P.
in richtige Lage. In gleicher Weise bestimmt man auch
Punkt X.
Punkt XII wird bestimmt, indem man eine L. E. zur
1. T. durch die schneidende Würfelkante 3—4 aufstellt,
deren Schnittlinie mit der Pyramidenseite bcgf in 2. P.
bestimmt und herunterlotet. In gleicher Weise findet man
auch den Punkt XIII, womit alle Durchgangspunkte kon
struiert sind.
Sucht man jetzt nach der Tabelle mit I beginnend die
Verbindung der Durchgangspunkte, so erhält man zuerst den
Linienzug: I—II— XI— VII—I—X— XV— IV— XIV- V
— XV — I, der die Eigentümlichkeit zweier kurzen Schlüsse bei
I und XV aufweist, da von diesen Punkten aus in mehr als
einer Richtung Verbindungen möglich sind. Man kann allerdings
diesen Linienzug auch als drei Linienzüge auffassen, welche
in den Punkten I und XV Zusammenhängen.
Mit der noch nicht vorkommenden niedersten Zahl III
beginnend, erhalten wir einen getrennten Linienzug: III —
VIII — VI—III und weiter noch den Linienzug: IX—XII
— XIII — IX, womit alle konstruierten Punkte aufgenommen
sind.
Sichtbarkeit und Unsichtbarkeit der Verbindungsstrecken
in 1. und 2. P. werden ebenfalls nach der Tabelle entschieden.
Fig. 2 stellt die Körperkombination dar, nachdem von
Stellung Fig. 1 aus eine Drehung || zur 1. T. um 90°
vorgenommen wurde.
Fig. 3 ist das Netz der Pyramide. Die nötigen Maße
können aus Fig. 1 entnommen werden. Die Lage der
Durchdringungspunkte findet man, wenn durch jeden der
selben eine Horizontale bis zur Mittellinie der betreffenden
Seite gezogen und der Abstand dieses Schnittpunktes, auf
der Mittellinie gemessen, von der Boden- oder Deckfläche aus,
den 2. P.P. der Fig. Fig. 1 und 2 entnommen wird. Im Netze
hat man alsdann von den Mittellinien aus die sich in den
1. P.P. der Fig. 1 und 2 zeigenden horizontalen Abstände
aufzutragen.
In Fig. 4 ist das Netz des Würfels mit Benutzung
einer Kantenlänge von 70 mm gezeichnet. Hier liegen
sämtliche Durchgangspunkte auf den Kanten. Ihre Abstände
von den Würfelecken findet man in wahrer Größe durch
Paralleldrehen der Würfelkanten zur 2. T. Für die Punkte
VIII, IX und X kann man übrigens diese Abstände ohne
weiteres aus der 2. P. Fig. 2 entnehmen, da hier die be
treffenden Würfelkanten || zur 2. T. sind, und sich diese
Abstände in wahrer Größe projizieren.
Blatt 27.
Durchdringung eines Rhomben-Dodekaeders und
eines Hexaeders.
Ein Rhomben-Dodekaeder ist ein Körper, welcher von
12 unter sich kongruenten Rhomben begrenzt ist. Er
besitzt 14 Ecken, 24 Kanten, 24 Seitendiagonalen und
35 Körperdiagonalen. In 8 Ecken stoßen je 3 Seiten, in
6 Ecken je 4 Seiten zusammen.
Ein solcher Körper soll gezeichnet werden; außerdem
noch ein Würfel; beide in besonderer Stellung zu einander.
Die Würfelkante besitzt eine Länge von 70 mm und
sind hiernach mit Hülfe einer Nebenfigur die P.P. des
Würfels in bekannter Weise zu konstruieren.
Wir wählen die Würfel-Körperdiagonale auch als Körper
diagonale des Rhombendodekaeders und erhalten dessen Ecken
1 und 14. Es ist eine Eigentümlichkeit dieses Körpers,
daß die 2. P.P. aller übrigen Ecken in Vierteln der Länge
jener Körperdiagonale gelegen sind. Teilen wir daher 1 — 14
in 4 gleiche Teile und ziehen durch die Teilpunkte wag-
i’echte Linien, so sind in ihnen die 2. P.P. der anderen
Ecken enthalten. Mit zwei Vierteln = 1 /2 (1 — 14) hat
man aber auch die wahre Länge einer kurzen Seitendiagonale
5— 13 des Körpers gefunden. Es müssen sich nun die 1. P.P.
der Seitendiagonalen 10 — 11, 11 — 12, 12—13 und 13 — 10,
welche alle unter sich gleich lang und horizontal sind, auf
der 1. T. in wahrer Größe projizieren, weshalb man mit der
Diagonale 5 — 13 als Kantenlänge ein inneres Quadrat
10 x , ll x , 12 x , 13 x konstruieren kann. Hieraus ergiebt sich das
äußere Quadrat 6\, 7 x , 8 X , 9 X und damit die ganze 1. P., aus
welcher wieder die 2. P. vervollständigt werden kann.
Man bemerkt hierbei, daß die Würfelkanten ab und eh
mit Kanten des Rhombendodekaeders zusammenfallen.
Die Fälle, in welchen Ecken des einen Körpers mit
Ecken des anderen und Kanten des einen Körpers mit
Kanten des andern zusammenfallen, wurden bisher noch
nicht erwähnt. Den Einfluß zu zeigen, welchen dieses Zu
sammenfallen auf die Gestaltung der Tabelle hat, ist mit
der Zweck der vorliegenden Konstruktion.
Die Tabelle wurde hier, der besseren Platzverteilung
wegen, in zwei Teilen angeordnet; der eine Teil für den
Rhombendodekaeder, der andere für den Würfel.
Die Durchdringung erhält man in folgender Weise: Die
[ Ecken a und 1 sowie h und 14 beider Körper fallen zu
sammen, weshalb hier zwei gemeinsame Punkte I und III
vorhanden sind, von welchen jeder siebenmal in der Tabelle
erscheint, da er sowohl auf vier Seiten des Dodekaeders als
auch auf drei Seiten des Würfels sich befindet.
Der Eckpunkt 2 des Dodekaeders — der gemeinsame
Punkt II — liegt in einer Würfelkante und kommt deshalb
in zwei Würfelseiten und in drei Dodekaederseiten, im
ganzen also fünfmal vor. Ebenso auch der Punkt IV.
Die Durchdringungspunkte V, VIII, IX und XII erkennt
man in ihren 2. P.P. ohne weiteres, da sich die geschnittenen
Dodekaederseiten in 2. P. als Linien projizieren. Jeder dieser
Punkte erscheint dreimal in der Tabelle, je einmal auf einer
Dodekaeder- und zweimal auf einer Würfelseite.
Die Punkte VI, VII, X und XI werden aus ihren
1. P.P. bestimmt, da die L.E.L.E. zur 2. T. durch die be
treffenden Würfelkanten die Rhomben nach den Diagonalen
schneiden, und man die Schnittpunkte in 1. P. ohne weiteres
erkennt. Jeder dieser Punkte erscheint dreimal in der
Tabelle; je einmal auf einer Dodekaeder- und zweimal in
einer Würfelseite.
Die Punkte XIII bis XX erhält man zuerst in ihren
2. P.P. Man legt durch die schneidenden Dodekaederkanten
5 —9 und 6 — 13, sowie 3 — 8 und 7— 11 L.E.L.E. zur 1. T.
Ihre Schnittlinien mit den Würfelseiten schneiden sich mit
den 2. P.P. der schneidenden Kanten in den 2. P.P. der
gesuchten Punkte. Jeder dieser Punkte erscheint dreimal in der
Tabelle und zwar je auf zwei Dodekaeder- und einer Würfelseite.
