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Blatt 33. 
Fig. 4. Hier soll die Durchdringung zweier Pyramiden 
bestimmt werden, welche beide nur ihre Spitzen in der 1. T. 
haben und deren Bodenflächen Lotebenen zur 2. T. sind. 
Die Schnittlinie A der ausgedehnten Bodenflächen ist 
mithin eine Gerade, welche zur 2. T. _L steht.* Verbindet 
man die beiden Pyramidenspitzen geradlinig, so ist einzu 
sehen, daß diese Gerade 5 s (verlängert) die ausgedehnten 
Bodenflächen beider Pyramiden in den Punkten r und t 
schneidet. r 2 und t 2 findet man als Schnittpunkte der Ver 
längerungen von 1 2 — 3 2 und d 2 — a 2 mit 5 2 s 2 bezw. der A. 
Eine Verbindungslinie ta liegt in der ausgedehnten 
Bodenfläche der gelben Pyramide, schneidet deshalb die 
Gerade A und zwar in einem Punkte e. Verbindet man a 
mit r, so liegt die Gerade er in der ausgedehnten Boden 
fläche der blauen Pyramide und schneidet deren Umfang 
1, 2 , 3, 4 nach a und ß. Denken wir uns nun eine Hülfs- 
ebene rsötaeaß gelegt, so ist ihr Schnitt mit der blauen 
Pyramide das Dreieck aß5, und I und II sind die Schnitt 
punkte der Kante as der gelben Pyramide mit dem Umfang 
des Dreiecks, bezw. den Seiten 1 , 4, 5 und 2, 3 , 5 der 
blauen Pyramide. 
In derselben Weise ergiebt die Kante ds die Punkte 
111 und IV; Kante es die Punkte V und VI. Die beiden 
Kanten bs und cs der gelben Pyramide gehen an der 
blauen Pyramide vorbei und ergeben keine Durchdringungs 
punkte. 
Verbindet man nun andererseits r mit 1, so schneidet 
r 1 die Gerade A in £. Wir können uns eine Hülfsebene 
durch t 5 s r l£ gehend denken, welche die gelbe Pyramide 
nach dem Dreieck y ds schneidet, das wieder in seinem Um 
fang durch die Kante 1 — 5 der blauen Pyramide in den 
Durchdringungspunkten VII und VIII getroffen wird. 
In derselben Weise ergiebt die Kante 2 — 5 die Punkte 
IX und X, die Kante 3 — 5 die Punkte XI und XII, 
während die Kante 4 — 5 an der gelben Pyramide vorübergeht. 
Es ergiebt sich, durch richtige Verbindung der gefundenen 
Durchdringungspunkte bloß ein Linienzug der Durchdringung 
und damit ein gegenseitiges Anschneiden beider Körper. 
Blatt 33. 
Durchdringung zweier Cylinder. 
Mit Verwendung von Ebenen, welche zu den Mantel 
linien beider Cylinder parallel sind. 
Nunmehr zu der Durchdringung krumm flächiger Körper 
unter sich uns wendend, finden wir, daß sich in mancher 
Hinsicht die Konstruktion ihrer Durchdringung wesentlich 
anders gestaltet, als jene der eben flächigen Körper unter sich. 
Bei den ebenflächigen Körpern ergab sich der Linien 
zug der Durchdringung als die geradlinige Verbindung der 
einzelnen Schnittpunkte der Kanten des einen mit den Seiten 
des anderen Körpers. 
Bei den krumm flächigen Körpern sind aber Kanten 
nicht vorhanden; auch besitzt ein solcher Körper keine 
Anzahl getrennter Seiten, weshalb hier das wertvolle Hülfs- 
* Stehen zwei Ebenen auf einer dritten Ebene J_, so steht auch 
ihre Schnittlinie auf der dritten Ebene J_. 
mittel der Tabelle bei der Verbindung der Durchdringungs 
punkte, welche krummlinig sein muß, keine Anwendung 
finden kann. 
Dessen ungeachtet werden wir in vielen Fällen die 
Bestimmung der Durchdringung krummflächiger Körper 
dennoch auf jene der ehenflächigen zurückführen können, 
w r as von Vorteil ist, da wir den Vorgang bei diesen schon 
kennen. 
Gegeben sind in Fig. 1 zwei Cylinder, und zwar ein 
schiefer Kreiscylinder (gelb) und ein schiefer elliptischer 
Cylinder (blau). Letzterer ist von besonderer Art, da er 
einen kreisförmigen Normalschnitt hat. 
Der gelbe Cylinder kann ohne weiteres nach den 
vorgeschriebenen Maßen aufgetragen werden. Bei dem blauen 
Cylinder müssen wir mit Benutzung der Maßangaben zuerst 
die Bildkontur der 3. P. mit Hülfe des Normalschnittes auf 
tragen. Aus der 3. P. finden wir alsdann 1. und 2. P. des 
Cylinders. Seine Bodenfläche wird eine Ellipse, deren kurze 
Achse gleich dem © des Normalschnittes und deren lange 
Achse von dem N. W. der Cylinderachse zur 1. T. ab 
hängt. 
Nimmt man auf beiden Körpern Mantellinien an, so 
kann jeder Cylinder als ein Prisma betrachtet werden. Da hier 
auch die Bodenflächen beider Cylinder auf einer T. aufstehen, 
so ist damit der vorliegende Fall auf die Durchdringung 
zweier Prismen zurückgeführt, welche, wie bei Blatt 28, durch 
Verwendung von Ebenen || zu den Mantellinien oder auch 
den Achsen beider Körper bestimmt werden kann. 
Auf den Mänteln beider Cylinder sind je 12 Mantel 
linien konstruiert worden. Zieht man durch den Punkt o 
der Achse des gelben Cylinders eine Gerade || zu der Achse 
des blauen und sucht von dieser Geraden die 1. Sp. p, so 
ist die Verbindungslinie von p x mit n x (1. Sp. der Cylinder 
achse on) die Hauptspur, zu welcher die Sp. Sp. aller zu 
verwendenden Hülfsebenen || laufen müssen. 
Eine Hülfsebene durch die Mantellinie a ergiebt in 
gleicher Weise, wie bei der Prismendurchdringung Bl. .28 
beschrieben, die Schnittpunkte I und II; Mantellinie b er 
giebt III und IV u. s. f., schließlich Mantellinie m die 
Punkte XXIII und XXIV 
Alle gefundenen Punkte werden verbunden, wobei sich 
herausstellt, daß zwei getrennte in sich geschlossene Kurven 
hierzu erforderlich sind. 
Es erscheint unnötig, in derselben Weise Mantellinien 
des blauen Cylinders durch den gelben dringen zu lassen. 
Die hierdurch sich ergebenden Punkte würden sich lediglich 
zwischen die bereits gefundenen einfügen. Sie würden nur 
die Kurve genauer bestimmen, d. h. mehr konstruierte 
Punkte zur Verbindung liefern, ohne indessen ein neues 
Ergebnis zu bringen. Man könnte ein genaueres Resultat 
auch dadurch erreichen, daß man anstatt 12 Mantellinien 
auf dem gelben Cylinder z. B. deren 24 annehmen würde. 
Ein wesentlicher Unterschied hinsichtlich der Bestimmung 
der Durchdringung ebenflächiger Körper zu jener der krumm 
flächigen besteht also darin, daß es genügt, hier nur die 
angenommenen Mantellinien des einen Körpers durch den 
anderen dringen zu lassen und die gefundenen Durchgangs 
punkte entsprechend mittelst Kurven zu verbinden. 
Unmöglich ist die Verwendung einer Tabelle bei der 
Durchdringung krummflächiger Körper nicht, da wir ja beide