128 
Traité des Orbites des Planètes. 
les formules du n° 4, on trouve la longitude demandée en vertu de l’ex 
pression 
valeur avec laquelle on passera aux approximations suivantes. 
Dans le troisième cas, les valeurs moyennes des fonctions 27 cos (tt — B) 
et y sin (tt — B) sont, toutes les deux, égalées à zéro, vu que ces fonctions 
s’expriment au moyen d’agrégats périodiques sans terme constant. Mais 
avec ces résultats, la courbe de Clairaut devient tout simplement un cercle, 
ce qui nous indique qu’01.1 doit, dans le cas envisagé, égaler l’angle f à 
(1 — ç)a 2 (r — t 0 ). 
Etant ainsi arrivé à une valeur approchée de la longitude v, dont 
l’erreur sera, dans les deux premiers cas, inférieure à + ~ 5 mais dans le 
troisième cas n’excédera pas les limites + 7 r, on aura, moyennant une 
approximation nouvelle, une valeur de v très approchée de sa vraie valeur. 
Pour élucider la portée de cette nouvelle approximation, mettons 
v = v 0 -f A v, 
v 0 étant la valeur préalable de v. 
En introduisant, dans les équations (19) du chap. I, cette expression 
de v, et en développant suivant les puissances de Av, il en résultera: 
(20) 
fj cos (- — / ') = x + C [/. C — •?, r — li] (;!',] 
Av 
— s [/, (c — <T S ) Ç — V, / ' — B J ( v 0 ) — 
rj sin (tt — r) = — S[x, c — <T S F — B s ](v 0 ) 
Av 
yc[x„(r-< 7 ,) Ç- 0 -. r—B,] K) + 
Dans ces développements, qui dans le premier cas donnent immédiate 
ment les valeurs de rj et 7 r, on doit remplacer x par x n , ç par a n et /’ 
par B n pour avoir les formules applicables au second cas. Dans le troisième 
cas finalement, on déduit des équations (16) les développements que voici: