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Traité des Orbites des Planètes. 
et si l’on y introduit la valeur 
sin IP = sin (v — v') 2 — 2h cos (v — v') — h 2 , 
qui dérive immédiatement de l’équation (3), il viendra: 
cos nH = cos n (v — v') 
+ 
n 
I . 2 
n 2 (n ' 2 
1.2.3.4 
sin (v — \ т ') ! 
. U> 2 -2 2 )(?l 2 -4 2 ) . , Л 4 If ! r a , 1 21 
4 - 3 — —-sm (v — v ) — ...} 2li cos (v — v ) + h 
10 1.2.3.4.5.6 4 ' 1 1 v ' ’ 
Evidemment, on pourrait de cette formule tirer les coefficients des 
diverses puissances de —-(2licos(v— v') + h 2 ) sous forme d’agrégats pé 
riodiques ne dépendant pas d’autres arguments que des multiples du seul 
angle v — v'; mais on y parvient plus promptement de la manière suivante. 
Il est aisé de voir que, si l’on désigne sin 7 / 2 par x, la formule précé 
dente peut se mettre sous la forme 
cos nH = cos n (v — v') 
cl cos n H 
dx 
(211 cos (v v') P b 2 ) 
I cP cos nH. 
T7â dx* Oh e°s(v 
V) + 1 .T 
sous réserve, toutefois, qu’après avoir opéré les différentiations demandées, 
on remplace H par v — v'. 
Or, la première dérivée de coswil par rapport à x s’exprime moyen 
nant la formule 
d, CO S n H 
dx 
sin n H 
n . 
sm 2 H 
d’où l’on conclut, si l’on écrit 2 m i\u lieu de n et que m soit un nombre 
impair: 
d cos -niH _ — 2?и {i -f 2 cos 4 77-1-2 cos 8/7 + ... + 2 cos 2 (m — i) 77};