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Traité des Orbites des Planètes. 
Voilà les conditions primaires auxquelles il faut satisfaire nécessaire 
ment, mais on peut leur donner une précision encore plus grande. En 
effet, pour que le rayon vecteur soit susceptible de maxima et de minima, 
d 2 o 
il faut que la seconde dérivée —\ prenne alternativement des signes opposés, 
d’où suit la condition que les valeurs de P — p doivent osciller autour de 
zéro. Mais malgré cette restriction ultérieure, la fonction P reste con 
sidérablement arbitraire, de sorte qu’on peut la choisir de plusieurs manières 
assez différentes. Nous allons donc examiner, succinctement, les divers types 
auxquels il y a lieu, dans la théorie des mouvements des corps célestes, 
de ramener cette fonction. 
2. L’équation (2) se dégage du terme dépendant de la première dé 
rivée si l’on y introduit, au lieu de v, une nouvelle variable indépendante 
r dont la relation à v est exprimée par l’équation 
dv = -4 dz, 
r 
c étant une constante. On obtient de la sorte, en effet, l’équation 
* 
En supposant que /7 soit une fonction de r seul, l’équation signalée 
admet une intégrale, à savoir: 
où l’on a désigné par —l’arbitraire introduite par l’intégration. 
Pour étudier la nature des maxima et des minima, faisons d’abord ^ 
dz 
égal à zéro. On obtient ainsi: 
( 8 ) p= — h ~ 2C fz> dr ’ 
tJ 
équation qui doit admettre au moins une racine réelle et positive, si la con 
stante h a été choisie d’une manière convenable. Si cette équation n’admet 
(6) 
d'r 
dz 2 
11 .