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Traité des Orbites des Planètes. 
Par la formule précédente, on conclut immédiatement que l’angle entre 
deux apsides consécutives est toujours constant, propriété des courbes en 
question, reconnue déjà par Legendre. Mais, puisque cet angle n’est qu'ex- 
ceptionnellement multiple ou une partie aliquote de la circonférence, les 
apsides tombent dans toutes les directions, de sorte que la ligne périplég- 
matique se coupant, elle même, une infinité de fois, forme un réseau entre 
les deux cercles. 
Evidemment, la nature périplégmatique d’une courbe définie par l’équa 
tion (5) est due aux valeurs de 11 oscillant autour de l’unité. Or, si l’on 
a posé: 
n=l^ + P), 
cette propriété de U tient d’abord aux variations du rapport - ayant l’unité 
pour valeur moyenne, mais elle provient encore des changements de la fonc 
tion P qui pourraient s’écarter des deux côtés de zéro. On retrouve ainsi, 
après avoir introduit la fonction p au lieu de r, la condition signalée vers 
la fin du n° précédent. 
Il sera quelquefois utile d’introduire une troisième variable indépendante. 
Désignons-la par u , et par une constante à choisir plus tard. Admettons 
finalement la relation suivante entre v et u\ 
du — — -dv, 
N c 
ce qui entraîne celle-ci entre u et r: 
, dr 
du — 7r~ j 
pr 
et nous aurons au lieu de l’équation (7) la suivante: 
(9) 
I /dr 
/ 9 2 \du 
c — Ar 2 — 2 cr “ 2 
Il convient d’ajouter celle-ci 
'dr\ 2 
(10) 
dv 
r Il 
2 r / - 3 dr, 
qui s’obtient immédiatement en remplaçant u ou z par v.