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Traité des Orbites des Planètes. 
Si, dans cette formule, on introduit au lieu de v, lune après l’autre 
les valeurs v kJ et v lk , et qu'on nomme a k l et a Lk les valeurs que prend a 
en vertu de ces deux substitutions, on parvient aux formules 
tang (90° — (a u — v tJ j) = 
z( 1 — ç) sin dçn 
1 + y. cos dçn ’ 
tang (90° — (a,.* — v Lk )) = 
x( 1 — ç) sin dçn 
1 + z cos dçn ’ 
desquelles on tire: 
= Vk.i + Vi.h + 1 8o°, 
ou bien, en ne tenant pas compte des révolutions entières, 
+ *i.k — 2 yi.d + 1 8o°. 
Tant que ç est un nombre irrationnel, ainsi que le produit Ç7r, l'angle 
90° — (n k l — : v kJ ) ne peut pas disparaître exactement, et en conséquence, 
les deux tangentes menées à un point d’intersection, 11e peuvent non plus 
coincider. Mais, il y a une infinité de points d’intersection où l’angle que 
forment les deux tangentes est plus petit que toute grandeur désignée. 
Il s’ensuit encore que l’angle formé par les deux normales est divisé 
par le rayon vecteur en deux parties égales. 
L’expression du rayon de courbure devenant avec les valeurs sig 
nalées de v: 
/ x( 1 — g) sin dçn 
\ 1 + x cos dçn 
1 + / 9 , x cos dçn 
1 i — k -j~ /, 
lx{ 1 — ç) sin dçn\ 2 
\ 1 — x cos dçn J 
1 —/ 9 , z cos dçn 
il s'ensuit que la courbure des deux spires est la même au point d’inter 
section; néanmoins, à ce point, il y a deux rayons de courbure égaux et 
faisant, l’un avec l’autre, l’angle a kJ — a Lk . 
Voilà l’exemple le plus simple d’une courbe périplégmatique non fer 
mée: nous en avons examiné les propriétés un peu en détail, vu que dans 
R 
O—*’) 
1 + 
3 
5 
h — k -f- l -j- 1 
roî