Pour m égal à l’unité, on retombe dans l’expression de , que nous 
venons de donner dans le numéro 74. 
Considérons ensuite le cas général où m a une valeur impaire et po 
sitive, mais d’ailleurs n’importe quelle. Posons 2m -|- 1 au lieu de m et 
prêtons attention au fait que tous les termes ayant comme facteur une 
puissance impaire de cos y disparaissent par l’intégration. L’expression (43) 
se met alors sous la forme suivante 
n(2»»-M)_ ( 2m + i)( 2 m + 3 )...( 2 m + 2 n- 1) 2a 2 '"+ 1 +' 1 f sin <p 2 ' 1 d<û 
” ~ 1 . 3 ...( 2 n— l)(l—Ztï) ! 
Il s’agit maintenant d’obtenir le développement suivant les puissances 
de —/, car leurs coefficients ne sont autre chose que les transcendantes 
fi' n \ et puisque les termes sous le signe J se mettent sous la forme 
—- , ce qui est immédiatement visible, les y seront exprimés 
(1 — a 2 sin çp) 2 
moyennant les /3. 
En inspectant la formule précédente, on voit tout d’abord que les 
termes figurant entre les parenthèses sous le signe J constituent un po 
lynôme fini en du degré m. On aura en effet: 
|(i — kl sin <p 2 ) m + — —k\ cos^ 2 (i — kl sin (p' î ) m 1 -f- . 
= A m) + A m) x + 4"V + • • •, 
si l’on admet les notations 
A ( 0 m) = (1 — et 2 sin -f a 2 cos^ 2 (i — a 2 sin^ 2 ) 
, 2m 2m— 1 2m — 2 2m — 3) 4 4 , 2 . 2 \m-2 1 
-J P — a 4 cos ç ( 1 — a sm <p ) m + 
1 1.2.3.4 7 v 7