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Traité des Orbites des Planètes. 
Maintenant, si nous admettons que la fonction H soit égale à la 
somme des carrés de tous les x iy et que nous posions, pour abréger, 
$1 = — 2 ^i + o - ? + A, 
$2 = — 2 ¿q ~b 02 + 
la fonction sera H obtenue en résolvant l’équation 
( 18) 
H 
n 
+ 
(A +A^) 2 ‘ (#,+&*) 
+ 
Evidemment, si les termes de droite sont en nombre fini, l’équation 
que nous venons d’établir, admet toujours une racine réelle et positive; 
c’est de même si les y forment une série infinie, que nous supposons 
toujours convergente comme une progression géométrique, supposé toutefois 
que les # soient des quantités positives. Mais aussi dans le cas où le 
nombre des termes est infini et que parmi eux il se trouve un nombre 
infini de $ négatifs, l’équation (18) sera satisfaite par une valeur finie, 
réelle et positive de H , et en conséquence, son membre droit, étant ex 
primé au moyen d’une série infinie, restera convergent. En voici la dé 
monstration. 
Soit — la plus grande valeur négative des $, et x, une quantité plus 
grande que i%: alors, il s’ensuit que l’inégalité suivante subsiste: 
(», + *)• + (#, + *) 
d’où il se dérive celle-ci: 
2 + 
+ 
2 
_n 
(— + x) 
f + f + • .. 
(— -\- x)* 
r ATi Ar|_ _ ftsTv ^ n f + y\ + • • • 
(A + «o* (»7 + «o* ' * ' (- », + ^ ' 3 (- + æ) 2 * 
Donc, si l’on détermine x en vertu de l’équation 
*(* — = Mfi + a + • • •). 
qui admet nécessairement une racine réelle et positive, plus grande que 
et que l’on introduise cette valeur de x dans le premier membre de