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Wären die beobachteten Größen m ^, ra 2 , . . m n voll
kommen genau, so könnte man aus dreien dieser Gleichungen
die Unbekannten x, y, x bestimmen; die übrigen n — 3 Glei
chungen werden für diese Werte der Unbekannten voll
kommen erfüllt. Wegen der unvermeidlichen Beobachtungs
fehler werden die Größen m^ , m 2 , . . m n nicht vollkommen
genau sein, es kann daher durch ein System von Werten
x, y , x nicht sämtlichen obigen Gleichungen genügt werden.
In diesem Falle bestimmt man die Unbekannten derart,
daß allen Gleichungen möglichst genügt wird; man erreicht
dieses, indem man die Summe
S = Vf + vj 4 b v*
zu einem Minimum macht. Dazu ist erforderlich, daß
dS d S pv d S p.
d^~ U > d7 ==U
wird, welche Gleichungen entwickelt geben
[ad] x + [ab] y + [ac] x -J- [am] — 0
[a ft] x -f- [& b] y + \b c] x + \bm] = 0
[ac] x + [bc\ y -f- [ec] x + [cm] — 0,
wo [ß®] = a^a^ —f- a^a^ —(— • • —J— a n a n
[ab] = a^b^ -f- a 2 b 2 -b • • —b u.s. w. ist.
Auf dieselbe Weise verfährt man, wenn mehr als drei
Unbekannte vorhanden sind.
Im vorigen wurde die stillschweigende Voraussetzung
gemacht, daß alle (beobachteten) Größen m u m 2 , .. m n von
gleicher Genauigkeit sind. Ist jedoch eine Beobachtung
von größerer Genauigkeit, so sagt man: »die Beobachtung
hat ein größeres Gewicht«. Um diesen Umstand in Rech
nung zu ziehen, kann man sich die zugehörige Gleichung
so oft angesetzt denken, als ihr größeres Gewicht beträgt.
Sind daher (auf irgend eine Einheit bezogen)