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SUR UNE TRANSFORMATION LINÉAIRE. 
et, en annulant ces facteurs, on obtient précisément les quatre inté 
grales linéaires de l’équation différentielle 
dx , dy 
vl = ± vT 
10. Il faut donc étudier cette décomposition de 
XH ÿ — Y H x . 
Rappelons d’abord les relations identiques 
4 El — S H* X 2 + T X 3 = — Jl, 
4 H¡¡ — S H ÿ Y 2 -)- T Y 3 = — . 
En désignant par u\ u", u'" les racines de l’équation 
4w 3 — Su — T = 0, 
on voit par là qu’on a 
4 (Ha; + u' X) (Ha; + u" X) (H* + u"' X) = — J®. 
4 (H, + u' Y) (H, + u" Y) (H, 4- u"' Y) = - J*. 
Or, Ha; et X n’ayant pas de facteur commun en général, les facteurs 
H* 4- w'X, H^ 4~ w' Y, ... sont nécessairement des carrés parfaits (Her- 
mite, loc. cit., p. 15, 16). Posons donc 
ÍH* + «' x=z<p?, 
(9) H , + u"X = <pl\ 
(h* -(- u" 1 X = ip’x 2 ; 
+ Y = n\ 
(10) H # + «"Y==% 2 , 
(Hj, + u'" Y = ipj" 2 , 
<p'x, <px, <Pz seront des polynômes du second degré. 
Nous cherchons à résoudre l’équation IH ÿ -YH I = 0 par rapport 
à x en y regardant y comme connu. On a donc 
X _U X _ Ha 4-W'X _Ha4-M ,/ X_Ha4-M ,,/ X_ a 
Y H y Hy + u' Y “ H ÿ 4- u" Y ~ H y -f u"' Y ’