386 II. Curven und Flächen: B) Flächen zweiten Grades. 101.
Einer krummen Fläche entspricht eine andere krumme
Fläche; die Polarebenen der Punkte der ersten sind die Tan
gentialebenen, die Pole der Tangentialebenen der ersten die
Punkte der zweiten; einem ebenen Schnitt der ersten ent
spricht der Berührungskegel der zweiten aus dem Pol der
Ebene und umgekehrt dem Letztem der erste in der Polarebene
der Spitze. Speciell der Fläche zweiter Ordnung und Classe
entspricht wieder eine Fläche zweiter Classe und Ordnung.
Sind ein Punkt und eine Ebene in Bezug auf eine Fläche
zweiten Grades Pol und Polarebene, so entsprechen ihnen eine
Ebene und ein Punkt, die in Bezug auf die entsprechende
Fläche zweiten Grades Polarebene und Pol sind.
Zweien Flächen zweiten Grades P 1; P 2 entsprechen also
zwei andere Flächen zweiten Grades P,*, P 2 *, aber den Punk
ten der einen die Tangentialebenen der andern. Der Curve
der gemeinsamen Punkte der ersten Flächen entspricht die
Developpable der gemeinsamen Tangentialebenen der Letz
teren. Sind ein Punkt und eine Ebene in Bezug auf beide
erste Flächen zugleich Pol und Polarebene, so entsprechen
ihnen eine Ebene und ein Punkt, die in Bezug auf beide
letztere Flächen zugleich Polarebene und Pol sind; also ent
spricht dem gemeinsamen Quadrupel harmonischer Pole der
erstem das gemeinsame Quadrupel harmonischer Polarebenen
der Letztem und umgekehrt.
Darum ist die Ordnung m der Durchdringungscurve der
Flächen P gleich der Classe n* der gemeinsam umschriebenen
Developpabeln der Flächen P*;
m — ri* = 4.
Von den Tangenten der Durchdringungscurve der Flächen
P haben acht mit einer beliebigen Geraden einen Punkt ge
mein; also liegen von den Erzeugenden der gemeinsam um
schriebenen Developpabeln der Flächen P* acht mit einer be
liebigen Geraden in je einer Ebene
r — r* = 8.
Von den Schmiegungsebenen der Durchdringungscurve der
P gehen zwölf durch einen Punkt, daher liegen von den
Punkten der Bückkehrkante der Developpabeln der P* zwölf
in einer Ebene
n — m* =12.
