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Elemente der projecti vischen Geometrie.
durch A gezogenen Geraden a entspricht. Dann ist der Durch
schnitt von a' mit 0 A der gesuchte Punkt A'.
Die Construction der collinearen Figuren vorausgesetzt, seien
0 das Centrum, s die Axe der Collineation und j die Fluchtlinie
der ersten Figur.
In der ersten Figur sei ein Kreis C gegeben (Fig 7,
8, 9); diesem Kreise entspricht in der zweiten Figur eine Curve
C', welche wir construiren können, indem wir durch obige Me
thode die Punkte und Geraden bestimmen, die den Punkten und
Tangenten von C entsprechen.
Zwei entsprechende Punkte M, M' der beiden Curven werden
immer mit 0 in derselben Geraden liegen, und zwei entsprechende
Sehnen (d. h. die Geraden MN, M' N', welche zwei Paare ent
sprechender Punkte verbinden) schneiden sich immer auf s; als
speciellen Fall*), werden zwei entsprechende Tangenten m, m'
(das sind Tangenten in zwei entsprechenden Punkten M, M') in
einem Punkte von $ zusammenlaufen.
Es folgt aus der Construction, dass die Curve C', überein
stimmend mit dem Kreise, die zwei folgenden Eigenschaften be
sitzt :
1. Jede Gerade in ihrer Ebene schneidet sie in zwei Punk
ten, oder ist eine Tangente, oder hat keinen Punkt mit ihr gemein;
2. durch einen beliebigen Punkt ihrer Ebene kann man zwei
Tangenten an die Curve ziehen, oder eine einzige (wenn der
Punkt auf der Curve ist) oder gar keine.
Da nach Nr. 17 zwei collineare Figuren so ange
sehen werden können, als seien sie durch das Zusam
menlegen zweier perspectivischer Ebenen entstanden,
so ist die Curve C' nichts anderes als irgend ein ebe
ner Schnitt eines schiefen Kegels mit kreisrunder
Basis. Dieser Kegel (Kegelfläche) wird durch die Geraden ge
bildet, die von irgend einem Punkte (0) des Raumes aus die
Punkte eines Kreises projiciren. Darum heisst die Curve C' ein
Kegelschnitt; die collineare Figur eines Kreises ist
ein Kegelschnitt,
■"') Die Tangente in M wird als die Gerade angesehen, welche durch
M und den unendlich naheliegenden Punkt der Curve geht, Baltzer,
Planimetrie S. 41,
