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Methode der kleinsten Quadrate. 
gen = a = a' = a" = a'" u. s. 
w.; so hat man also für x die n Glei 
chungen (B e d i n g u n g s g l e i ch u n g e n, 
wie der Begriff in diesem Artikel definirt 
ist) x = a, x = a', x — a", x = 
a'" , oder x—a — o , x — a' = o 
». s. w. (eine Gestalt, welche ich densel 
ben des gleich Folgenden wegen gebe); 
— und nimmt demnach für x ganz na 
türlich das „arithmetische Mittel" 
a + a' -|- a" -f- a“ 1 .... 
n 
Dieses Verfahren ist in der Natur der 
Sache selbst begründet, wird schon vom 
Jnstinct des gemeinen Menschenverstan 
des, welcher gleich eine Fehl er-Com-, 
pensation ahnt, als das w a h r sch e i n- 
lich-richtigste anerkannt, und führt 
auch, wie die Erfahrung lehrt, insge 
mein zu dem sichersten Resultate. — Mit 
i h m also haben wir es bevorwortcter- 
maßen zu thun. 
Hier ist jedoch, wie man sieht, nur 
von der Ableitung E i n er Unbekannten, 
aus mehreren für dieselbe gefundenen, 
unter sich verschiedenen Beobachtungswer 
then, die Rede, aus welchen Fall das 
vorgeschriebene Verfahren eine so leichte 
Anwendung findet; — nun haben wir 
aber im eben citirten Art. Bedin 
gungsgleichungen die mannichfa- 
chen andern Fälle kennen gelernt, in de 
nen der Astronom aus einer grossen An 
zahl solcher, unter sich nicht übereinstim 
menden Gleichungen mit zwei, drei 
u. s. w. Unbekannten, die Mittel 
werthe für jede einzelne dieser, 
gleichwohl nur in V e r b i n d u n g ge 
gebenen Unbekannten, abgesondert heraus 
finden soll. Seyen (vergl. die vorausge 
hende Anmerk.), in einem solchen ein 
fachsten Falle, z. B. für die nur zwei 
Unbekannten x, y bte drei (unter sich 
nicht übereinstimmenden) Gleichungen x 
+ y = a> X + y = a', x + y = 
a" *, d. h. wieder des Folgenden wegen, 
x + y —a — 0 u. s. w. gegeben; so 
daraus auf 
( 
3 3 —f— 34 —I— 35 
3 
48° 12' 34" festgesetzt wurde. 
Ich bereite darauf vor, daß ich statt 
kann ich daraus wohl das arithmetische 
Mittel für die Summe der beiden 
Unbekannten, aber nicht für eine 
jede einzelne von ihnen herleiten. 
— Wie ist also dann zu dieser letzte 
ren Sonderung zu gelangen? wie das 
Verfahren des „arithmetischen Mittels", 
unserer Eingangs aufgestellten Forderung 
gemäß, auf di e se n Fall auszudehnen? — 
und dieß ist unsere eigentlich e Frage. 
Auf den dazu anzuwendenden Kunstgriff 
ist man durch die Bemerkung einer, dem 
„arithmetischen Mittel" beiwoh 
nenden merkwürdigen Eigenschaft geleitet 
worden. Wir hatten oben, in einem Bei 
spiele, welches ich hier nochmals benützen 
wollte, für die drei Gleichungen x — a 
x — a' = o x — a" — o j die 
numerischen (Messungs-) Werthe a — 
33, a' = 34, a" — 35 gefunden, und 
33 + 34 + 35 
3 
daraus x — 
— 34 
bestimmt. Substituirt man hiernächst die 
sen arithmetischen M i t t e l w e r t h 
in die obigen drei „Bedingungsgleichun 
gen", d. h. setzt man für x, 34, und für 
a, a', a" successiv 33, 34, 35, so wer 
den diese Gleichungen dadurch freilich 
nicht sämmtlich — o, sondern man er 
hält vielmehr 34 — 33 — 1 , 34— 34 
— 0, 34— 35 —— 1, welche, solcher 
gestalt entstehenden Differenzen wir mit 
d, d', d" bezeichnen wollen; aber es er 
gibt sich, daß die Summe der Qua 
drate^' dieser Differenzen, d 2 
+ d ' 2 + d" 2 , dieser „Fehle r" (ich 
sage so, indem, wenn man allemal ganz 
richtig gemessen hätte, offenbar gar 
keine Differenzen Statt finden könnten, 
wie man leicht einsteht, bei ihrer Ver 
einigung, zu bloß identischen Glei 
chungen führen wurden, unten die Un 
bekannten in ähnlicher Art mit C»ef 
ficiente» verbinden muß, wie Dieß 
im eben allegirten Art. B e d i n g u n g S- 
gleichungen geschieht 
* Ich brauche wohl kaum daran zu erin 
nern, daß die Erhebung auf eine ge 
rade Potenz, wie oben auf das Qua 
drat, das Negative positiv macht: 
— 1 . — 1 (s. das gleich Folgende) ist 
— + l 2 . — Leser, die diesen Umstand, 
dieser, hier nur zur beßren Uebersicht 
gewählten einfachsten Ausdrücke, welche, 
welchen ich hier bloß algebraisch gel 
tend mache, für die Theorie unserer Me- 
d. h. x 
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