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Methode der kleinsten Quadrate. 
das arithmetische 
me der beiden 
er nicht für eine 
n ihnen herleiten, 
i n zu dieser letzte- 
langen? wie das 
netischen Mittels", 
estellten Forderung 
ll auszudehnen? — 
gentlich e Frage, 
endenden Kunstgriff 
lerkung einer, dem 
Mittel" beiwoh- 
Eigenschaft geleitet 
den, in einem Bei- 
nochmals benützen 
Gleichungen x — a 
X — a" — o , die 
s-) Werthe a — 
- 35 gefunden, und 
f + A 5 = 34 
man hiernächst die 
lt Mittelwerth 
Zedingungsgleichun- 
für x, 34, und für 
i, 34, 35, so wer- 
t dadurch freilich 
, sondern man er- 
3 — 1 , 34— 34 
- 1 , welche, solcher- 
»ifferenzen wir mit 
wollen; aber es er« 
umme der Qua- 
)ifferenzen, d 2 
ser „Fehler" (ich 
man allemal ganz 
tte, offenbar gar 
tatt finden könnten, 
eht, bei ihrer Ver- 
identischen Glei« 
den, unten die lln- 
cher Art mit Coef- 
den muß, wie Dieß 
Art. B e d i n g u » g S- 
)ieht 
kaum daran zu crin- 
cbung auf eine g e- 
oben auf daö Q u a» 
ve positiv macht: 
gleich Folgende) ist 
, die diesen Umstand, 
1 algebraisch gel- 
Theorie unserer Me- 
d. h. x dann immer denselben glei 
chen Werth hatte haben müssen), wenn 
also auch nicht ganz — 0 , doch wenig 
stens kle in er ist, als wenn für x ir 
gend ein anderer Werth angenommen 
worden wäre, oder, daß diese Summe 
der Fehl er quadrate, wie sich die 
Analysis ausdrückt, ein Kleinstes", 
ein „ Minimum " wird. Wirklich gibt 
in unserm numerischen Beispiele, ans wel 
ches ich zunächst hindeute, jede andere, 
statt (des arithmetischen Mittels) 34, sub 
stituirte Zahl eine solche größere Summe 
jener „Fehlerquadrate": die, bei Anwen 
dung der „arithmetischen Mittel- 
zah l" 34 für x, herauskommende Summe 
tfi l 2 -j— 0 2 -j- l 2 = 2 ; nimmt man, 
statt 34, die Zahl 33, so ergeben sich 
die Differenzen (die „Fehler") 33 — 33 
— 0, 33-34= — 1,33-35 —— 2, 
also die Summe ** der Fehlerquadrate — 
0 2 4~ l 2 -f- 2 2 schon — 5 5 und wenn 
meine Leser nun ferner etwann die Zahl 
34,5 oder, wie gesagt, jede andere anwen 
den, so werden Sie immer einen größe 
ren Werth der gedachten Summe finden. 
Um aber den solchergestalt nachgewiese 
nen Zusammenhang zwischen dem „arith 
metisch e n Mittel" und der „S umme 
der Quadrate" der bei seiner An 
wendung noch übrig bleibenden „Feh 
ler", als den entscheidenden Punct, so 
dann erst noch weiter nachzuweisen, wollen 
thvde weiter verfolgen wollen, verweise 
ich auf Gauß viel citirte „Theoria 
motus corporum coelestium“. S. 221 ; 
i ch muß mich bemühen, ohne gleich tief 
sinnige analytische Erörterungen zu Stande 
zukommen: mein Hauptzweck ist durch 
gängige größtmögliche Popula 
rität. 
* Von diesem Umstande führt die Metlivde, 
wie ich gleich hervorhebe, eben den Na 
men der „Methode der kleinsten 
Quadrate", welcher Name sonst be 
fremden konnte. 
** Ich bitte wohl z» merken „die S n m m e" ; 
nicht einzelne Quadrate, für welche 
sich die Sache, wie man auch sieht, an 
ders verhalten kann. Bo» dieser „S u ni 
ni e« muß auch die Neve seyn, da sich 
die Betrachtung auf alle (auf die S u m-! 
me der) BeobachtungSwcrthe, nicht auf 
einen etiizellien, beziehen soll. 
wir diesen Zusammenhang, auch mit An 
wendung auf die obigen allgemeinen 
Ausdrücke x — a — 0 , x — a' — 0 , 
x — a" — 0 , x — a'" — 0 darthun: 
wir haben gesehen, daß die Substitution 
des arithmetischen Mittels für x in jene 
Beoingungsgleichungen zur Folge hatte, 
daß d 2 4 - d ' 2 4 - u. s. w. oder, da d 
— x — a, d' — x— a' u. s. w., (x— 
a) 2 4“ ( x — a 0 2 4- (x—a") 2 4~ (x 
_ a /,/)2 — Minimo wurde; ich werde 
jetzt zeigen, daß, wenn man vielmehr, 
letztere Consequenz zur Präliminär-Bc- 
vingung macht, daraus, umgekehrt, für 
x der Werth des arithmetischen Mittels 
folgt. 
In der That leitet die Analysis, wie 
ich als bekannt voraussetzen muß, auS 
der obigen Forderung: 
(x — a) 2 4* (x — a') 2 4" (x — a") 2 4" 
(x — a'") 2 = Minimo, die Gleichung 
2 (x — a) dx 4~ 2 (x — a') dx -f- 
2 (x — a") dx -j- 2 (x — a"ch dx — 0 
ab, woraus, auf den ersten Blick, wie 
oben, 
_ B -f- + a" 4- 
d. i., welches ich beweisen wollte, x — 
dem arithmetischen Mittel, kömmt*. — 
Es steht also hiernach allgemein fest, daß 
man, um das arithmetische Mittel für 
die Unbekannte zu finden, statt des oben 
dazu vorgeschriebenen unmittelbaren Ver 
fahrens, auch nur den Bedingungsglei- 
chcn X — a, x = a' u. s. w. die, deß 
halb gleich vorn angewendete Form x 
— a — 0, X — rC — 0 u. s. w., in 
welcher sie die Fehler d, d' ausdrücken, 
geben, diese respectiven Fehler in das 
Quadrat (x — a) 2 , (x —a^ 2 .... erhe 
ben , und deren Summe (x — a) 2 4* 
(x —a') 2 gleich Minimo setzen darf; 
— und dieses Verfahren zur Erlan 
gung des arithmetischen Mittels läßt sich 
nun, wohin wir eben wollten, auch auf 
* Man macht mich darauf aufmerksam, daß 
dieser so einfache und so schöne Beweis, 
dessen Ehre ich mir bis seht allein bei- 
gemessen hatte, schon vor mir von dem 
bekannten Französischen Geometer L e- 
gcn dre in seiner ,, Nouvelle Méthode 
pour la détermination des orbites 
des Comètes“. Paris. 1806. gr. 4. 
S. 75- gegeben worden ist.