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Methode der kleinsten Quadrate. 
die Bedingungsgleichungen mit mehre 
ren Unbekannten, für welche das ge 
wöhnliche Verfahren, angeführterma- 
ßcn, nicht mehr zureicht, zur Darstellung 
des arithmetischen Mittelwerthcs jeder 
einzelnen dieser mehreren Unbekann 
ten anwenden. Seyen also, zum Nach 
weise dafür, gleich wieder die drei, un 
ter einander nicht concordirenden, nu 
merischen Bedingungsgleichungen mit nun 
mehrigen zwei Unbekannten (und in 
welchen Gleichungen ich, zur Vermeidung 
bloß identischer Schlußausdrücke, be- 
vorwortetermaßen', Coefficienten habe mit 
auftreten lassen müssen): 
X 4~ y — 4, 
2x 4- y — 7, 
x + 3y = 12*, 
gewählt; so gebe ich ihnen, wie oben 
zunächst die Gestalt: 
X —f- y — 4 =0, 
2x + y — 7 =0, 
x -f- 3 y— 12 = 0/ 
in welcher sie eben die Differenzen, die 
„Fehler" ausdrücken, deren Quadrate sum- 
mirt und, solchergestalt summirt, als ein 
Minimum behandelt werden sollen, er 
hebe ste demgemäß auf das Quadrat, 
und setze sodann diese „Summe der Feh 
lerquadrate" (x -s- y — 4) 2 4- (2 x + 
y-7) 2 4- (x + 3 y-12) 2 = Mi 
nimo. Die Analysis schreibt aber, wie 
ich wieder als bekannt annehmen muß, 
zur Behandlung einer solchen Glei 
chung mit zwei Unbekannten nun wei 
ter vor, den Ausdruck successiv in Be 
zug auf die eine und dann auf die an 
* Ich entnehme diese 3 „Bedingungk- 
g lei chungen", über deren Entstehung 
unter dieser oder einer ähnlichen Form 
ich übrigens nochmals auf den genann 
ten Artikel verweise, aus meiner Jnau- 
gural-Dissertativn über den vorliegenden 
Gegenstand: „Betrachtungen über 
die Methode der kleinsten Qua 
drate". Görlitz. 1820. 8. S. 3. flgd. 
dere Unbekannte zu diffcrentiiren, und 
jedes der dabei herauskommenden beiden 
Differentiale für sich — 0 zu setzen, welches 
2 (x 4- y-4) clx 4- 2 (2 x -\- y 
— 7) 2 dx 4- 2 (x 4- 3 y-12) dx 
= 0, und 2 (x j~ y — 4) dy 4" 2 
(2 X 4- y-7) dy 4- 2 (x 4- 3 y- 
12 ) 3 dy = 0, oder, nach der Réduction, 
6 x -s- 6 y —30 — 0 , und 
6 x 4~ 11 y — 47 = 0*, 
also jetzt nur noch so viel Gleichun 
gen als Unbekannte gibt, welche 
Wirkung des angewendeten Verfahrens 
ich alsbald ganz besonders hervorhebe. 
Denn nach dieser solchergestalt bewirkten 
Vereinigung der gegebenen mehreren Be- 
oingungsgleichnngen in nur eben noch so 
viele Finalgleichungen, als gerade auch 
Unbekannte vorhanden sind, hat die 
Ableitung der letzteren, durch das ge 
wöhnliche Eliminationsverfahren, keine 
Schwierigkeiten mehr, wie man denn 
mit Einem Blicke auf unser Beispiel sieht, 
daß x daraus — 1 3 /s, und y — 3 2 /s 
kommt. 
Die Formation der zur Ableitung d i c» 
se r respective» numerischen Werthe von 
x und y angewendeten beiden Finalglei« 
chungen ist nun aber, wie ich so sorg» 
faltig bemerkt habe, zugleich nur unter 
ver Bedingung des „arithmetischen 
Mittels" für jeden jener beiden 
Werthe bewirkt worden, für welches arith» 
'» Das DarstellungSgeseh dieser Final-Glei- 
chungen läßt sich auch durch die Vor 
schrift ausdrücken: alle Glieder je 
der der ursprünglichen Glei» 
chungen successiv durch den 
Coefficienten der betreffenden 
Unbekannten in ihr, mit sei 
nem Zeichen genommen, z » m u l- 
t i p li c i r e n, d i e S u m m e n d e r P ro 
dn c t e z u m a ch e n , u n d j e d e die 
ser S u m m e n = 0 z n setzen. Mul- 
tiplicirt man, dieser Vorschrift gemäß, 
in der That, z. B. in unseren 3 Glei 
chungen : 
x 4- y — 4 = 0, 
2x4- y— 7 — 0 , 
x 4- 3y — 12 = 0, 
in der ersten und dritten mit I, und 
in der zweiten mit 2, als den jedes 
maligen Coefficienten von x, so wird 
erhalten: 
x 4- y — 4 = 0, 
4x 4" 2y — 14 = 0, 
x 4~ 3y — 12 = 0 , 
woraus, wie im Texte . . . 6x 4“ 6y — 30 = 0 
kommt.; — und in dieser Art wird, wie ich an einem hinten folgenden zweiten