i U Methode der kleinsten Quadrate. 
gungSgleichnngen man ihr auf Einmal unterwirft, demgemäß man also von ihr 
in allen Fallen die sicherste Auskunft zu erwarten hat. 
Um jedoch auch für diese Ausdehnung auf dergleichen Fälle mit mehr als 
zwei Unbekannten, ein Beispiel beizubringen, welches ich außerdem in noch ande 
rer Absicht schon vorn versprochen hatte, wähle ich ein solches aus Gauß bereits 
oben citirter Theoria motus corporum coelestium“. S. 219. welches Er dort 
selbst mit den Worten einleitet: ,,Ut disquisitiones praecedentes per exemplum 
illustrentur, supponamus, per observationes, in quibus (man Vergl. die dieß- 
fallsige, gleich Eingangs gemachte Bevorwortuug) praecisio aequalis praesumenda 
sit, inventum esse“: 
p — q-f- 2 f — 3 = 0, 
3 P+ 2q - 5 r - 5=0, 
4 p+ q + 4 r — 21 = 0, 
— p -j- 3 q -j— 3 r — 14 = : 0 J 
so multiplicirt man also, unserer oben ertheilten Vorschrift gemäß, zuerst mit 
dem Coesficienten von p, mit seinem Zeichen genommen, in jeder 
Gleichung jedes Glied derselben, und erhält auf diese Weise die vier Ausdrücke: 
durch deren Summtrungk P — q-f- 2 r — 3 = 0,1 Auf die nämliche Weise 
die erste der drei, hier! 9 p 6 q — 15 r — 15 = 0,(werden, successiv mit den 
für drei Unbekannte ml6 p + 4 q + 16 r — 84 = 0,?Coefficicnten von q und 
formircndcn Finalglci-k p''— 3q — 3 r -f- 14 — 0,y multiplicirend n. dann 
chnngen erhalten wird . 27 p -f- 6 q „ — 88 = 0 . ^""mircnd, 
die beiden andern Fi 
nalgleichungen . . 6p-f-15q+ r — 70 = 0, 
und „ q -J-54 r — 107 = 0 gebildet. 
Mit jener ersten Glei 
chung : 27 p -f- 6 q „ —88 = 0 verbinde man 
hieruächst, der Elimina 
tion wegen, die dritte, 
nachdem man sie mit — 6 
multiplicirt hat ...» — 6q—324 r -f- 642 = 0, woraus durch 
Addition kommt . . .~TT . . . 7“. . . . 27p-324r4-554=0. 
Sodann verbinde man mit 
der zweiten Gleichung: 6 p -f- 15 q -f- r — 70 = 0 , 
* Der Coefficient vvn p ist hier nâinlich 
— 1, nus welchen llnistand ich bei der 
Wahl des Beispiels besvnders mit Rück- 
stcht genommen habe. — Ich finde indctz, 
mas b tese Art der Bildu » g der Fi- 
n a lg le i ch u n g e n betrifft, angemesse», 
auch nvch hinzuzufûgen, mie sich La- 
place im „Lssai philosophique sur 
les Probabilités“ (4te An fl. Paris. 
1819.) darûber auSdrückt. „Si l’on a 
un grand nombre d’équations de con 
ditions“, Heitzt es daselbfi, S. 94. und 
99. „on les combine de manière à 
obtenir autant d’équations finales qu’il 
y a d’inconnues ; mais quelle est la 
manière la plus avantageuse de cette 
combinaison? La condition du mi-\ 
nimum de la somme des carrés des 
erreurs détermine le système des 
coefficiens qu’il faut adopter pour 
cet effet : on forme une première 
equation finale , en multipliant cha 
que terme de chaque équation de con 
dition par le coefficient de la pre 
mière inconnue dans cette équation, 
pris avec son signe, et en réunis 
sant toutes ces équations ainsi mul 
tipliées ; on forme une seconde équa 
tion finale , en employant de même 
les coefficiens de la seconde incon 
nue; — et ainsi de suite“. Dietz 
ist aber ebe» die ini Texte vvn uns ge- 
gebene »»d, in afleni Detail, ans der 
Bedingung des „Minimums" fur die 
„S u m m e d e r F e h l e r q u a d r a t e" ab- 
geleitete Regel.