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Anhang. 
Wären jedoch nur zwei solcher Radien vectoren gegeben, so erhielte man nur 
zwei Gleichungen, und könnte demnach auch nur zwei der drei gesuchten Elemente 
berechnen, und es muß daher, um auch in diesem Falle die ganze Bahn zu fin 
den, entweder das dritte Element selbst, oder doch wenigstens eine solche Größe 
gegeben seyn, aus welcher es durch eine dritte Gleichung berechnet werden kann. 
4 . 
Kennt man demzufolge die Größe und Lage zweier Radien vectoren und noch 
Eins der drei Elemente 11, e, p, so ergibt sich hieraus die vollständige Bahn. 
Nun seyen r und r' diese beiden Radien vectoren, v und v' die entsprechenden 
wahren, E und E' aber die excentrischen Anomalien, welche Größen, vorausgc- 
setztermaßen, sämmtlich bekannt sind. Die von der Apsidenlinie und den Radien 
vectoren r und r' begrenzten elliptischen Scctoren sind resp. 
, (E-e Sin El», 2?r _ P ; )yj (E- - ° Sin E>. 
mithin deren Differenz, oder der von den beiden Radien vectoren begrenzte Raum 
-J- = 1 + e Cos (F - 11), 
— = 1 + e Cos (N" — II). 
Multiplicirt man diese drei Gleichungen resp. mit 8in (Ff" — N') , — Sin (N" 
— N), Sin <N' — Ni, und addirt die Products, so folgt, da offenbar 
Cos (N - II) Sin (N"-NO - Cos (N' —II) Sin (N" — N) + Cos (N" 
- II) Sin (N' — N) = 0 
ist. 
Sin (N" - NQ — Sin (N" - N) -f- Sin (N* — N) 
— Sin (N" — N') Sin (N" — N) 4 Sin (N' — N). 
r r' r" 
Der Zähler dieses Ausdrucks wird 
— 2 Sin >/ 2 <N" - NO Cos '/2 (N" - NO - 2 Sin '/2 (N" - NO Cos 
O /2 N" -f- -/2 N' — N) = 4 Sin '/2 (N" - NO Sin ‘/2 (N" — N) 
Sin '/2 (N' — N). 
Seht man ferner r' r" Sin (N" — NO = n, rr" Sin (N" — N) == n', 
r r' Sin (N' — N) — n", so sind offenbar '/2 n, '/2 n^, ^/2 n" die Flächen 
der Dreiecke zwischen dem zweiten und dritten, dem ersten und dritten, dem ersten 
und zweiten Radius vectvr. Hieraus ergibt sich, daß in der resultirenden Formel 
— 4 Sin '/2 (N" - NQ Sin y 2 <N" — N) Sin '/2 (N' - N) r r' r" 
n — n' -f- n" 
der Nenner das Doppelte der Fläche des Dreiecks darstellt, welches zwischen den End« 
Puncten der drei Radien vectoren, d. h. zwischen den drei Orten des Planeten im 
Raume, enthalten ist. 
Man sieht übrigen«, daß hier (was auch beim folgenden der Fall ist) nicht eigent 
lich die absoluten Werthe von N, N', N", sondern vielmehr nur deren Differenzen 
N' — N, N" — N, N" — N', oder die von je zwei Radien vectoren gebilde- 
ieii Winkel gegeben seyn müssen. 
Ist aber der halbe Parameter p gesunden, so werden e und N — II aus den 
beide» ersten der obigen drei Gleichungen bestimmt. 
'* Bezeichnet man nämlich die dem Radius vectvr r entsprechende mittlere Anomalie 
mit NI, de» dazu gehörigen elliptischen Sector mit 8, so verhält sich offenbar, da 
die ganze Fläche der Ellipse = a V a p 5 M: 27 £=^S: 7 i;av r ap. Hier« 
M a Va p p Mp J 
2 1 — e a _y 2(1 —e 2 ) 3 / 2 
aus ergibt sich 8 — 
oder wen»