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Anhang.
Werden nun aus diesen sechs Gleichungen die vier Unbekannten «, ß, y, J eli«
rntnirt, so ergeben sich, mittelst der beiden Endgleichungen, die gesuchten wahren
Werthe der x, y , nämlich §, ^, durch die bekannten Größen a, a' a" , A, A',
A", b, b', b", B, B, B" ansgedrückt.
10.
Ist man daher im Besitze genäherter Werthe der Unbekannten, so können
die wahren durch die eben auseinandergesetzte Methode mit aller gewünschten
Genauigkeit daraus hergeleitet werden. Man berechnet nämlich zuerst die, diesen
genäherten Werthen (a, b) entsprechenden X, Y; wenn diese Größen nicht von
selbst verschwinden, so wird die Rechnung mit andern, von jenen wenig verschie
denen Werthen (a', b') , und hierauf nöthigenfalls mit einem dritten Systeme
(a", b") wiederholt. Dann aber berechnet man nach den Formeln des vorher
gehenden §. die wahren Werthe, wenn nämlich die Voraussetzung, auf welcher
jene Formeln beruhen, richtig war, welches man am besten daran erkennt, daß
die dergestalt berechneten Werthe den Gleichungen X — 0, Y s= 0 Genüge lei
sten. Ist Letzteres noch nicht vollkommen der Fall, so werden sich doch wenigstens
weit kleinere Werthe von X, Y, als aus den drei vorhergehenden Hypothesen er
geben , und die Unbekannten demnach schon weit mehr genähert seyn. Es ist
leicht einzusehen, daß man, aus diese Art fortfahrend, jede beliebige Näherung er
zielen , und endlich den Gleichungen X — 0, Y = 0 in aller Strenge genü
gen kann.
11.
Es handelt sich demnach, Behufs der vollständigen Lösung unserer Aufgabe,
darum, zu untersuchen,
1) welche Größen, als die Unbekannten x, y, anzunehmen sind;
2) auf welche Weise man die genäherten Werthe dieser Größen erhalte;
3) welchen Gleichungen X — 0, Y = 0 dieselben Genüge leisten müssen, und
4) wie aus diesen Größen die Elemente der Bahn selbst hergeleitet werden.
Man bezeichne die den drei beobachteten Orten entsprechenden Radien vcctoren
mit I-, r', r"; die heliocentrische Winkelbewegung in der Bahn vom zweiten zum
dritten, vom ersten zum dritten, vom ersten zum zweiten Orte resp. mit 2 s,
2 f', 2 f", so daß f' — f -f- f"; * es seyen ferner r' r“ Sin 2 f = n, rr“
Sin 2 f' = r r' Sin 2 f" == n"; endlich die Producir der constante» Größe
k (§ 1.) mit den Zeit - Intervallen zwischen der zweiten und dritten, der ersten
und dritten, der ersten und zweiten Beobachtung resp. o, o', o", demnach o' —
o + o". Der zwischen den Radien vectoren r, r' und dem elliptischen Bogen
enthaltene elliptische Sector ist offenbar — '/2 0" \/p (§. 1.), die Dreiecksfläche
zwischen denselben Radien vectoren aber — '/2 r r' Sin 2 f" — '/ 2 n". Be
zeichnet man mithin das Verhältniß jenes Scctors zu diesem Dreiecke mit *]", so
• V — —77-^ > und genau eben so, wenn das Verhältniß des zwischen
ist A
den Radien vcctoren r', r" enthaltenen elliptischen Sectors zum entsprechenden
Dreiecke y genannt wird, B . . . r] —
n
Wären daher die drei Radien vectoren r, r" der Größe und Lage (d. h.
der zwischen je zwei derselben enthaltene Winkel, vergl. den Schluß der Anmerk,
zu §. 3.) nach bekannt, so könnte man aus den beiden ersten r, r' und dem zu
gehörigen Zeit-Intervall nach §. 6. den halben Parameter p und z/p, und hier
aus finden. Man könnte aber auch z/p aus r', r" und dem entsprechenden
Zeit-Intervall, und dann berechnen.
* Es bedeuten liier 2 f, 2 f 1 , 2 k" offenbar dieselben Winkel, welche in derAnmcrk.
zum §. 3. mit X" — X', X" — X, X' — X bezeichnet worden , daher auch
n, n', n" hier dieselben Großen, al§ am eitirten Orte vorstellen.