Gauss an Olbers. Braunschweig, 1802 September 14. 
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Es sei K der Durchschnittspunkt der drei Ebenen, KX, KY, KZ 
drei auf diese Ebenen senkrechte Linien oder die Axen dieser Ebenen, wo 
man X, F, Z auf denselben Seiten der Ebenen liegend annehmen kann, wo 
die Koordination positiv gezählt werden; endlich KL das Perpendikel 
aus K auf die Ebene des Dreiecks, und S des Dreiecks Inhalt. Dann ist 
£ cos XKL = 4: 
£cos Y KL = -Y 
S cos ZKL = + 
Projektion des A auf 
'H 
9 
3 
Folglich die Summe der Quadrate von dem, was rechter Hand steht, 
= SS (cos XKL 2 + cos YKU + cos ZKL l ) = SS, 
da nach einem bekannten und leicht zu beweisenden Lehrsatz die 
Summe der Quadrate der drei Cosinus allzeit = 1 ist. 
5. Hieraus folgt leicht, dass oben in (3) 
AA~\~ BB -f- CC= 4 (Area APP' P’J 
und eben so aus (2), dass 
KL 2 —xx-\-yy-\-zz =-7- 
DD 
AA-\-BB-\-CC 
mithin 
L = + 2 K L. Area APP' P" 
Nun ist bekanntlich der Inhalt der Pyramide 
KPP' P" = \KL Area APP' P”, also =±|L>. 
5. Dies Verfahren ist hinlänglich, wenn bloss von dem absoluten 
AVerthe des Inhalts der Pyramide die Rede ist, um aber zugleich zu 
entscheiden, ob die Formel D den Werth positiv oder negativ giebt, 
ist ein etwas verschiedener Gang nöthig. Man sieht (aus 2) leicht, 
dass 
(vO 
AD 
41 
4- 
BB 
+ 
cc 
BD 
A A 
+ 
BB 
+ 
cc 
CD 
[A A 
+ 
BB 
4- 
cc 
= KL cos XKL 
KL cos ZKL 
Ferner ist es nicht schwer zu übersehen 
I. dass cos XKL positiv oder negativ ist, je nachdem KX in 
infinitum (durch X) verlängert die Ebene des Dreiecks quaestionis 
schneidet oder nicht schneidet, oder je nachdem X als unendlich entfernt 
gedacht mit K auf entgegengesetzte oder einerlei Seite der Ebene des 
Dreiecks fällt.