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Gauss au Olbers. ßraunschweig, 1802 September 14.
X
-Y
Lehrsätze.
1. Die Koordinaten der drei Punkte P,P,P’, das sind die senk
rechten Abstände von den beiden aufeinander senkrechten Linien CX;
CY sind x,x',x"\ y, y', y”, jene positiv auf der Seite von
CX, wo Fliegt, negativ auf der entgegengesetzten; diese
positiv auf der Seite von CY, wo X liegt, negativ auf
der anderen.
Dann ist xy' + x'y" + x"y — x'y — x"y — xy" der * 2
doppelte Inhalt des A PP'P", positiv oder negativ, je
nachdem die Punkte P, P, P" in demselben oder im
entgegengesetzten sens liegen wie C, X, Y.
2. Wenn die Lage der Punkte im Raume durch die senkrechten
Abstände von drei auf einander senkrechten Ebenen A, 2), 3, oder
durch die Koordinaten x, y. z bestimmt wird, und die Gleichung für
eine beliebige Ebene
Ax -f- By -(- Cz — D
ist, so sind die Koordinaten desjenigen Punktes dieser Ebene, ivo das
Perpendikel aus dem gemeinschaftlichen Durchschnitt von A, 2),3 (oder
aus dem Anfangspunkt der Koordinaten) auf dieselbe eintrifft, folgende
AD BD CD
Fig. 8.
X■
AA + BB + CC’
y
AA 4- BB 4- CC ’
z =
AAA-BBA-CC'
Dies lässt sich sehr leicht durch die Maxima und Minima beweisen.
3. Wenn die Kordinaten von drei Punkten im Raum P, P', P"
ft ft
V, v', y"
c, r, ft
Abstände v. d. Ebene
A
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3
sind, so findet man die Gleichung einer durch diese drei Punkte gehenden
Ebene, wenn man, in obigen Zeichen,
A = y' z" -f y" z-\-yz' — y" z’ — y z” — y' z
B = z' x" -f z" x-\-zx' — e" x’ — z x" — z’ x
C—x' y" + x" y -}- x y' — x" y' — x y" — x' y
D = xy'z” + x , y"z + x"yz , — xy"z , — x'yz" — x" y'z
setzt (oder auch nach Gefallen diese Werthe von A, B, C, D mit
einem beliebigen Faktor multiplicirt).
4. Das Quadrat des Inhalts eines Dreiecks im Raum ist gleich
dei Summe des Quadrates der drei Projektionen desselben Dreiecks auf
drei willkürliche, auf einander senkrechte Ebenen.
Dieser Satz (das Pendant zum Pythagoräischen Lehrsätze), der
nicht bloss von Dreiecken, sondern von allen ebenen Figuren gilt, be-
weisst sich leicht auf folgende Art:
