6. Die Methode von Veithen-Merton (Gauss-Encke). 
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bestimmung aus 3 Beobachtungen tritt letzten Endes in allen Methoden 
der Bahnbestimmung auf. 
Eine Wurzel der Gleichung entspricht der Erdbahn; denn r 2 = R 2 
befriedigt Gl. (39). Dann ist Zl 2 = o und 
Setzt man diesen Wert für k° in die allgemeine Gl. (38) ein, so tritt an 
deren Stelle die Gleichung 
In aller Strenge gilt diese Gleichung nur, wenn die Beobachtungen vom 
Zentrum des Systems Erde + Mond (Baryzentrum) gemacht sind, da 
dieses, nicht das Geozentrum, die Ellipse um die Sonne beschreibt. 
Setzt man nun — ohne Indizes — zur Abkürzung ~ = n, 
l RR 
^ — £, so kann man die Gl. (37) und (40) schreiben 
£ 2 = 1 + if + 2 rj cos #, (41) 
V = C (1 - ^r) • (42) 
Führt man den Ausdruck von rj in den von £ 2 ein, so wird 
i 2 =I + C 2 (l-^) 2 + 2COStf£(l-^3-) 
oder 
I 2 — I + COS $ 2 — j £ ( x — J3-j + COS # | = o 
oder entwickelt 
/ (£) = | 8 — [1 — cos d 2 + (cos $ + £) 2 ] £ 6 
+ 2 £ (cos & + £) I 3 — C 2 = o. (43) 
Dies ist die Charliersche Form der Lagrangeschen Gleichung. Da sie 
die Wurzel | = i (r — R) hat, so geht ihr Grad auf den 7. Grad herab. 
Der Ausdruck £ (cos ft-\-£) ist, wie Charlier bewiesen hat, stets 
positiv. Denn wenn 1. £>o ist, so ist nach Gl. (42) £>1 und r]<£. 
Ist cos # positiv, so ist es auch £ (cos # + C). Ist cos & negativ (=— cos ’ß'). 
so folgt aus | 2 = 1 + rß — 2 cos ß'rj, daß, damit £ > 1 bleibt, rj > 2 cos#' 
sein muß. Also ist auch £>2 cos#'>cos#'. Wenn 2. £ < o wäre, so 
wäre nach Gl. (42) £ < 1, also nach Gl. (41) r/ 2 + 2 cos ßrj negativ, d. h. 
cos # negativ, oder £ (cos # + £) positiv. 
Wie groß ist nun die Anzahl der reellen Wurzeln der Gl. (43) ? Wegen 
des negativen Vorzeichens von £ 2 findet ein dreimaliger Zeichenwechsel 
statt. Nach dem Satz von Cartesius über Zeichenwechsel und Zeichen 
folgen ist dann die Zahl der Wurzeln höchstens gleich der Anzahl der 
Zeichenwechsel oder um eine gerade Zahl kleiner. Da außer £ = 1 
(Erdbahn) noch die unbekannte Bahn des beobachteten Himmels-