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Methoden der ersten Bahnbestimmung. 
körpers existieren muß, so sind notwendig immer 3 positive Wurzeln 
vorhanden. 
Die beiden hier allein in Frage kommenden positiven Wurzeln be 
dingen deswegen aber nicht auch immer eine Doppellösung. Sie sind 
vielmehr nur dann beide verwendbar, wenn beide > 1 oder wenn beide 
< 1 sind. Hingegen existiert keine Doppellösung, wenn eine Wurzel < 1 
und die andere > 1 ist, da bei einem Zeichenwechsel von 1 —~ in 
Gl. (42) beim Durchgänge von £ durch 1 wegen der Konstanz von £ für 
ein bestimmtes Gestirn r¡ nicht mehr stets positiv sein kann. (Lam 
bertscher Satz von der Krümmung der geozentrischen Bahn). 
Um die Bedingungen für die Existenz einer doppelten Lösung kennen 
zulernen, sei zunächst aus Gl. (43) die Wurzel £ = 1 eliminiert. Setzt 
so hat g(£) zwei reelle positive Wurzeln. Durch Differentiation wird 
Aus Gl. (44) und (45) folgt, daß g(o) = £ 2 , also stets positiv, und 
g(i) = 2 (1 — 3 cos #£) ist. Ist g(i) > o, so kann die g-Kurve zwischen 
den positiven Ordinaten in o und 1 nur keinmal oder zweimal durch die 
Abszissenachse hindurchgegangen sein, d. h. so sind die beiden positiven 
Wurzeln entweder beide > 1 oder beide < 1 (doppelte Lösung). Ist 
hingegen g(i) <0, so ist eine Wurzel < 1 und eine > 1. 
Also lautet das wichtige Kriterium für das Auftreten einer doppelten 
Lösung in der ihm zuerst von Oppolzer gegebenen Form 
oder wenn man die Werte für cos # und £ nach Gl. (41) und (42) ein 
setzt 
Dieser Ungleichung hat Charlier eine geometrische Deutung ge 
geben. Ist a) £ > 1, so kann man dafür schreiben 
Betrachtet man jetzt £ und r\ als bipolare Raumkoordinaten eines 
Punktes bezogen auf die Einheitsstrecke Erde—Sonne als Grundstrecke, 
so ist die Grenzfläche, die die beiden durch die Ungleichungen a und ß 
gekennzeichneten Gebiete trennt, gegeben durch 
man 
/(£) = (£-i)g(£) 
(44) 
(45) 
1—3 cos d' £ > o 
(46) 
(47) 
5. 
3 
(48)