8. Die Methode von Wilkens. 
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f = lk*(e 3 -@ 1 )x Qa {i8) 
g = \k*(® 3 -0 1 )Y ö2 . 
(L z 
Für z 2 bzw. erhält man die Näherungsausdrücke 
'¿-v tk-k)' ™ 
WO 
£ = j U (öi - ft 3 ) - g («1 -- « 3 )] 
fl = -jU(B*-B 3 )-g(A^A 3 )} 
und 
v — (-4i A 3 ) (bi — b 3 ) — (Bi — B3) (cii — #3) (20) 
ist und v = o das Kriterium dafür ist, daß r 2 = R2 ist, während zugleich 
2* und -A =(= o bleiben. Nun ist Zl 2 stets positiv und daher wegen 
£ 2 — zl 2 sin ß 2 das Vorzeichen von z 2 bekannt. Die erste der Gl. (19) ist 
der analytische Ausdruck für den Lambertschen Satz. £ sowie ß 2 sind 
bekannte Größen, und man gewinnt das Kriterium, von dem bei der 
Entscheidung über die Wurzeln der Gleichung 8. Grades Gebrauch ge 
macht wird: 
Ist 
ßz>0\ . ,. 
' , so ist bei 
ßz<o\’ 
£ ^ o 
£^o 
y 2 ^z R 2 1 
y 2 R 2 J 
(21) 
Die Gleichung 8. Grades erhält man nun in folgender Weise. Setzt 
«2 Xq 2 + b 2 Yq 2 = £ Wo 2 + Yo 2 = RI (22) 
1 + a\ + bl = cosec ß\ = a 2 (23) 
und substituiert diese Ausdrücke, die Gl. (9) und die erste der Gl. (19) 
• 2 
in r = 
2 
+ y\ + z \ > so erhält man 
= & 02 (fif ~ 7f) “ 2 ^ (*f ~ Ti) + R ° 
oder 
A + ki + k 2 r\ + ¿3 = 0, 
(24) 
wo 
s: 
k t = + — 2(( 
(25) 
k 3 = — £2 o 2 . 
Wilkens hat die Lösungen dieserGleichungeingehend diskutiert. Hier 
seien nur kurz die Resultate wiedergegeben. Von den 3 reellen positiven 
Wurzeln entspricht eine (genähert r 2 = R 2 = i) der Erdbahn. Diebeiden 
übrigbleibenden Wurzeln können 1. beide <1,2. beide > 1, oder 3. eine