8 Die heliozentrische und die geozentrische Bewegung. 
Da man im Sonnensystem die Massen m in K 2 = k 2 (i + m) gegen die 
Sonnenmasse als sehr klein betrachten darf, so ist die Größe K 2 : 4 n 2 An 
sehr nahe eine Konstante. Setzt man sie streng gleich einer Konstanten, bir 
so besagt Gl. (30): In der elliptischen Bewegung verhalten sich die 3. Po 
tenzen der großen Halbachsen wie die Quadrate der Umlaufszeiten 
(3. Keplersches Gesetz). 
Will man die Angabe des Gestirnsortes P in der Ellipse für eine be 
Sir 
liebige Zeit erhalten, so muß man die Gl. (28) über beliebige Zeiträume 
kai 
integrieren. Führt man statt der Umlaufszeit T u den durch 
2 JZ 
1er: 
U — -=— 
J- u 
ges 
definierten Winkel ¡jl ein, so wird 
VOl 
K 
(3i) 
tri: 
P=~T- 
a 2 
ma 
Sei 
Aus der Verbindung der Gl. (18), (20) und (31) erhält man 
Kr 
r 2 / dr\ 2 , . 
-, , -77 = a 2 e 2 — (a — r) 2 . 
fi 2 a 2 \dt J ' ' 
od< 
Um diese Gleichung integrierbar zu machen, führt man einen Hilfs- 
winkel E als neue Variable ein durch 
a — r = ae cos E. 
(32) 
Ke 
Durch Differentiation und Quadrierung ergibt sich 
mi 
Kr 
dr . „ dE 
(33) 
-tt = ae sm E ——- 
dt dt 
ma 
und 
w 0 , 
(a—r) 2 = a 2 e 2 —a 2 e 2 sin E 2 , 
(34) 
du 
und nach Einsetzen dieser beiden Gleichungen 
r dE 
(35) 
wo 
fjy cc di 
oder 
ma 
(1 — e cos E)dE —/udt. 
(36) 
v - 
Die Integration liefert endlich 
At 
E—e sin E =jut-\- Mo, 
(37) 
ha 
ma 
worin M 0 eine Integrationskonstante ist, die gewissermaßen die Kon 
stante £4 in Gl. (12) ersetzt. Die in E transzendente Gl. (37) nennt man 
die Keplersche Gleichung, ihre rechte Seite die mittlere Anomalie M 
Pe 
M = Mo+fxt. 
(38) 
Di 
Zählt man die Zeit von einer Ausgangsepoche t 0 ab, und ist M 0 
lere Anomalie für diese Epoche, so ist 
die mitt- 
de] 
E — ßsin E = M 0 -\-/u(t —1 0 ) = M. 
(39) 
de: 
ist die mittlere Bewegung in der Zeiteinheit, die durch Gl. (31 
) mit der 
großen Halbachse a verbunden ist.