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Methoden der ersten Bahnbestimmung. 
A. Die Bahnbestimmung aus 3 Beobachtungen. 
Die erste Bahnbestimmung aus 3 Beobachtungen soll die Aufgabe 
lösen, auf 3 beobachteten Richtungslinien 3 Punkte so zu bestimmen, 
daß sie den in Abschnitt 1 abgeleiteten Gesetzen entsprechen. Die in 
diesen ausgesprochenen Bedingungen werden erfüllt sein, wenn die 
3 Punkte in einer Ebene mit der Sonne liegen, wenn sich durch sie ein 
Kegelschnitt mit der Sonne in dem einen Brennpunkt legen läßt (geo 
metrische Bedingungen), und wenn die Sektoren die Flächeninhalte 
(zi r-i) =r 3 (ri r 3 ) =Ti ]//> haben, in denen die Radien Vektoren 
und die wahren Anomalien als Funktionen der Zeit auftreten (dyna 
mische Bedingungen). 
Die beiden Arten von Methoden, die für das Problem der ersten Bahn 
bestimmung vorgeschlagen sind, unterscheiden sich im wesentlichen 
dadurch, daß bei der einen, der Laplaceschen Methode, der unmittelbare 
Anschluß an die Differentialgleichungen der Bewegung 
gesucht wird, bei der anderen nach Gauss benannten Methode von der 
Integration dieser Gleichungen ausgegangen wird. 
Vor Gauss hat zwar schon Lagrange die Gaußsche erste Näherung 
in ihrem Kern entwickelt, und vom mathematischen Standpunkt ge 
sehen, die Lösung des Bahnbestimmungsproblems gegeben. Indessen 
charakterisiert die Gaußsche Methode nicht der Ansatz der ersten Nähe 
rung, sondern das Verbesserungsverfahren, das grundsätzlich von dem 
Lagrangeschen verschieden ist. Zudem war es erst Gauss Vorbehalten, 
die vollständige Lösung in einer für die praktische Anwendung form 
vollendeten Weise wirklich zugänglich zu machen. 
Die Laplacesche Methode besitzt infolge ihrer analytischen Ein 
fachheit und Durchsichtigkeit einen gewissen Vorteil vor den Methoden 
der 2. Art. Allein die Bahnbestimmung ist ein Problem des praktischen 
Rechnens. Nicht die analytische Eleganz einer Methode ist entscheidend 
für die Beurteilung ihrer Brauchbarkeit in der praktischen Anwendung, 
sondern die sichere, rasche und bequeme rechnerische Durchführung. 
Die rein theoretische Behandlung kommt für den Bahnrechner erst in 
zweiter Linie in Frage. 
Laplace setzt voraus, daß für einen bestimmten Moment außer den 
beobachteten Koordinaten oc, <5 auch ihre 1. und 2. Ableitung aus einem 
Komplex von Beobachtungen ermittelt sind. Er stellt 2 Gleichungen 
auf, die außer bekannten Größen nur die heliozentrische und geozen 
trische Entfernung r und A enthalten. Aus ihrer Verbindung ergeben 
sich r und A. Eine weitere Gleichung, die außer bekannten Größen nur A 
und -tt enthält, dient zur Bestimmung von —y. Damit ist eine voll