A. Die Bahnbestimmung aus 3 Beobachtungen. 
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ständige Beobachtung a, d, A nebst den 1. Ableitungen d J t> ^ be 
kannt und die Berechnung der Elemente ermöglicht. In der Praxis be 
reitet die sichere Bestimmung der Ableitungen der beobachteten Koor 
dinaten — es sind dazu weit mehr als 3 Beobachtungen erforderlich — 
ganz erhebliche Schwierigkeiten. In Verfolg der Oppolzer-Harzerschen 
Bestrebungen auf eine der Praxis angepaf3te Ausgestaltung hat Leusch- 
ner die Methode, bei Beschränkung auf 3 Beobachtungen für die 1. Nähe 
rung, in eine gebrauchsfähige Form gebracht. Im Verbesserungsver 
fahren gibt Leuschner, in Erkenntnis der geringen Konvergenz des 
Laplaceschen Verfahrens, das Problem der ersten Bahnbestimmung 
ganz auf. Er berechnet mit den Elementen der ersten Näherung die 
Abweichungen gegen die Beobachtungen und führt auf Grund dieser 
eine Bahnverbesserung aus. 
Bei den Methoden der 2. Art liegt die Schwierigkeit darin, daß 
namentlich die in den Keplerschen Gesetzen (Konstanz der Flächen 
geschwindigkeit) enthaltenen dynamischen Bedingungen sich nicht in 
bequeme Verbindung mit den Beobachtungen bringen lassen. Hier 
werden zunächst 3 lineare Gleichungen (Ebenenbedingung) aufgestellt, 
in denen außer den 3 unbekannten geozentrischen Entfernungen A { die 
Verhältnisse der Dreiecksflächen n 1} n 3 auftreten. Diese sind bei kurzen 
Zwischenzeiten sehr nahe gleich dem Verhältnis der Zwischenzeiten 
und ermöglichen damit die Einleitung eines Versuchsverfahrens. Die 
beiden weiteren dazu erforderlichen Gleichungen für n3 werden 
den dynamischen Bedingungen entnommen. Von hier ab gehen La- 
grange und Gauss verschiedene Wege. 
Lagrange knüpft an die Integrationsform 
I z. ¿So 
s = a s 0 + b — 
cL So 
der Bewegungsgleichungen an. Hierin sind s 0 , jy(s 0 = x 0 , y 0 , z 0 ) die 
für einen Nullmoment t 0 gültigen Koordinaten und Geschwindigkeiten, 
a und b nach Potenzen der Zwischenzeiten fortschreitende Reihen, in 
deren Koeffizienten nur r 0 und seine 1. und 2. Ableitung auftreten. 
Er erhält so ein in sich geschlossenes Formelsystem, das die strenge Be 
stimmung von 3 Arbeitsunbekannten (mittlerer Radiusvektor und 
seine 1. und 2. Ableitung) durch allmähliche Annäherung gestattet. Die 
Lagrangesche Methode war den Bedürfnissen der Praxis nicht angepaßt 
und ist in der ursprünglichen Form für sie ohne Bedeutung geblieben. 
Charlier hat aus ihr eine sehr elegante, rein analytische Lösung ab 
geleitet. Jedoch stellt die Umständlichkeit der Berechnung der Glieder 
höherer Ordnung seiner Reihenentwicklungen die Kürze der praktischen 
Anwendung in Frage. 
Abweichend von dem Prinzip, das zur ersten Näherung führt, sucht 
Gauss durch zweckmäßige Variation der numerischen Werte der in