Methoden der ersten Bahnbestimmung. 
erster Näherung bekannt gewordenen Verhältnisse der Dreiecksflächen 
ein geeignetes Formelsystem, das in geschlossener Form die geometrischen 
und dynamischen Bedingungen des Problems enthält, streng zu erfüllen. 
Und zwar bedient er sich dabei des Verhältnisses von Sektor zu Dreieck, 
das auch bei der Ableitung der Elemente benutzt wird. An der Gauß 
schen Methode sind im Ansatz der ersten Näherung von Encke beträcht 
liche Verbesserungen angebracht worden, die aber das 'Wesen der Gauß 
schen Methode unberührt gelassen haben. Für die numerische Rechnung 
haben Veithen und Merton eine geeignete Umformung der Gauß- 
Enckeschen Methode gegeben. 
Die Zahl der Methoden, die namentlich seit Beginn der Entdeckung 
der kleinen Planeten im Jahre 1801 für die Lösung des Bahnbestim 
mungsproblems empfohlen worden sind, ist sehr groß. Doch sind mit 
wenigen Ausnahmen die prinzipiellen Unterschiede gegen die genannten 
Methoden gering. 
Besondere Erwähnung verdienen die Methoden von Harzer (1901 
und 1913), Andoyer und Wilkens. 
In seiner ersten Methode stellt Harzer weit fortgeführte Reihen 
auf, die den Parameter der Bahn und im Zusammenhang damit die 
beiden Verhältnisse der Dreiecksflächen n lt n 3 als Funktionen der 
Zwischenzeiten und der 3 unbekannten Radienvektoren 79 daxstellen. 
Das Problem wird auf 3 Gleichungen für die 79 zurückgeführt, in denen 
außer diesen noch die n lt n 3 auftreten. Die Gleichungen werden durch 
allmähliche Verbesserung von angenommenen Näherungswerten mit 
Hilfe besonderer differentieller Verbesserungsgleichungen aufgelöst. In 
der 2. Arbeit, die sich prinzipiell von der ersten nicht unterscheidet, 
macht Harzer die Voraussetzungen, daß der heliozentrische Bogen 
kleiner als 25 0 bleibe und daß die Zwischenzeiten möglichst gleich 
seien. Er erhält dann eine geschlossene Näherungsformel für den Para 
meter, die ihrerseits die entsprechenden Beziehungen für die n lt n 3 liefert. 
Die Auflösung der 3 Gleichungen erfolgt dadurch, daß er die Näherungs 
werte für die 79 nur in die von Fehlern weniger betroffenen ni, n 3 ein 
setzt, die verbesserten Werte der 79- aber direkt bestimmt. 
Andoyer leitet aus dem Gaußschen strengen Formelsystem für das 
Verhältnis von Sektor zu Dreieck einen weitgehenden Näherungsaus 
druck ab. Diesen benutzt er an Stelle des Gaußschen Verbesserungs- 
d Sq 
Verfahrens zur Berechnung der Elemente s 0 und ~ in Näherungs 
stufen. 
Die Methode von Wilkens gehört zu dem Typus der Lagrangeschen 
Methoden. Abweichend von Lagrange nimmt aber Wilkens die so 
fortige Elimination der unbekannten Entfernungen A t vor, und berechnet 
d Sq 
So und-j- auch aus den durch 3 Beobachtungen gegebenen Größen.