Methoden der ersten Bahnbestimmung.
aufstellen. In den hingeschriebenen Gliedern dieser Potenzreihen treten
dfz
als Unbekannte r 2 und im 3. Gliede auf. Es wird natürlich das Be
streben sein, schon die erste Näherung so weit als möglich zu treiben,
um das Verbesserungsverfahren ganz zu vermeiden, oder doch die
Zahl der Näherungen zu vermindern. Andrerseits darf aber auch der
durch die Mitnahme weiterer Glieder bedingte Arbeitsaufwand nicht
größer sein als der zur Wiederholung von Näherungen notwendige. Oft
genug reicht schon die erste Näherung aus, um ein für die weitere Ver
folgung des Objektes ausreichendes Elementensystem abzuleiten.
Die Mitnahme des 3. Gliedes, das mit multipliziert ist, soll wegen
der Unmöglichkeit, diesen Differentialquotienten in der ersten Näherung
streng als Funktion von A 2 zu bestimmen, unterbleiben. Hingegen be
reitet die Bestimmung von r 2 in dem Gliede 2. Ordnung, das aus dem
Gliede 3. Ordnung bei den Dreiecksflächen entsteht, als Funktion
von A 2 keine Schwierigkeit, wie schon gezeigt wurde. In erster Näherung
'muß man sich mit Gliedern 3. Ordnung in den Dreiecksflächen begnügen.
Die Mitnahme dieser Glieder ist aber auch notwendig, wie sich aus
folgender Betrachtung ergibt.
Die Bestimmung des Parameters des Kegelschnittes hängt nach
Gl. (2. 8) wesentlich von dem Inhalt des von den 3 Bahnörtern ge
bildeten Dreiecks ab. Für dieses ergab sich der doppelte Inhalt nach
Gl. (2. 8). Dieser Ausdruck ist von der 3. Ordnung in bezug auf die
Zwischenzeiten. Würde man ihn vernachlässigen, so würde sich für
den Parameter ein unendlich großer Wert ergeben, d. h. der Körper
würde sich nicht in einem Kegelschnitt, sondern in gerader Linie be
wegen .
Wegen der Vernachlässigung der Glieder von höherer als der 3. Ord
nung muß die erste Näherung notwendig ein fehlerhaftes Resultat er
geben. Der Fehler ist um so kleiner, je kleiner die Zwischenzeiten, je
größer die Radienvektoren, und je kleiner die Exzentrizität des Kegel
schnitts ist.
Encke berücksichtigt in der ersten Näherung die beiden ersten
Glieder in Gl. (8) vollständig, d. h. er setzt
= ^-+fT I r 3
Ti
T 2
t 2
T 2
Der Gaußsche Ansatz stimmt mit dem weitergehenden Enckeschen
nur dann überein, wenn die Zwischenzeiten Ti und r 3 streng einander
gleich sind. Dieser günstigste Fall wird aber in der Praxis selten oder
nie eintreffen, wenn man auch bestrebt ist, sich diesem durch geeignete