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Methoden der ersten Bahnbestimmung. 
Mit den so gewonnenen verbesserten Werten der ni, n 3 wird das 
Formelsystem von Gl. (13) ab erneut durchgerechnet (2. Näherung). 
Man erhält verbesserte Werte der y it setzt sie in Gl. (19) ein und prüft, 
ob Anfangs- und Endwerte der ni, n 3 der 2. Näherung übereinstimmen. 
Ist das nicht der Fall, so ist das Verfahren in 3. Näherung zu wieder 
holen. Es ist abgeschlossen, wenn die dynamischen Bedingungen in 
Gl. (19) streng erfüllt sind. Die Vergleichung der Anfangs- und 
Endwerte der th, n 3 gibt also einen Maßstab für die erreichte Genauig 
keit ab. 
Herglotz hat durch eine Abschätzung nach Potenzen der Zwischen 
zeiten gezeigt, daß der Ansatz in Gl. (21) eine weitgehende Annäherung 
ist, indem er die in der 1. Näherung vernachlässigten Glieder höherer 
Ordnung in den Entwicklungen für die n-i, n 3 numerisch genähert dar 
stellt. Indessen ist eine solche Abschätzung allein nach Potenzen der 
Zwischenzeiten nicht umfassend genug, da die Konvergenz auch von 
anderen Faktoren (Radienvektoren, Exzentrizität) abhängt. 
Auch in der Praxis hat sich die rasche Konvergenz des Gaußschen 
Verbesserungsverfahrens in tausendfacher Anwendung bewährt. Hier 
kommt man bei den kurzen beobachteten Bögen, wie sie gegenwärtig 
häufig sind, sehr oft bereits mit der 1. Näherung zum Ziele, wenn 
auch die Resultate der 1. Näherung häufig ohne Berücksichtigung der 
Aberrationszeiten ermittelt sind. Indessen ist ihr Einfluß bei so kurzen 
Zwischenzeiten meist äußerst gering. 
Ist eine Verbesserung nicht mehr notwendig, so kann man mit Ver 
wendung der gefundenen Werte der y* sofort den Parameter und das 
vollständige Elementensystem ableiten. Das Näherungs verfahren wird 
dann ganz ausgeschlossen, und die Methode ist eine direkte. 
Mehr als 2 Näherungen sind bei der der Beobachtungsgenauigkeit 
angepaßten östelligen Rechnung nur selten notwendig. Stets wird bei 
sehr großen Bögen eine provisorische Bahnrechnung aus kürzeren 
Bögen vorangegangen sein, die die Hilfsmittel zur Berechnung sehr 
nahe richtiger Werte der liefert. Aus diesem Grunde wird auch der 
Fall, daß infolge zu großer Bögen oder andrer ungünstiger Umstände 
die Konvergenz sehr gering oder gar in Frage gestellt ist, in der Praxis 
gar nicht auftreten. Sollte aber tatsächlich die Notwendigkeit weiterer 
Näherungs verfahren vorliegen, so wird man zur Abkürzung von der 
3. Näherung ab die regula falsi für 2 Unbekannte anwenden, da bei 
dieser die Fehlerordnung in geometrischer Reihe abnimmt. 
§ 26. Die Ableitung der Elemente. 
Ist im Verbesserungsverfahren völlige Übereinstimmung der An 
fangs- und Endwerte der n x und n 3 erzielt, und sind damit die end 
gültigen Werte der Ai ermittelt, so kann man jetzt auch die endgültigen 
Werte der x\, y'i, z\ und daraus die 6 Elemente selbst ableiten.