12 Wahrscheinlichkeit eines Beobachtungsfehlers. 
das Eintreffen von n Beobachtungsfehlern, hervorgehen kann; da 
dieses Ereigniss nun wirklich eingetroffen ist, so sind die Wahr 
scheinlichkeiten, dass die eine oder die andere dieser Ursachen 
bestanden habe, d. h. dass z lf ... der wahre Werth von A sei: 
Pi P* Ps 
Pi -f* Pi ~h • • • ’ P\ p? P\ H - p% “h • • • 
Die Nenner aller dieser Brüche sind gleich; also ist derjenige der 
grösste, der den grössten Zähler hat, somit ist der Werth von z, 
dem der grösste Werth von P entspricht, derjenige, den man als 
den wahrscheinlichsten Werth von A bezeichnen muss. In 
der Unkenntniss des eigentlich absolut wahren Werthes von A 
werden wir sodann jenen als wahren Werth anzusehen haben. 
Hieraus folgt nun, dass derjenige Werth von z, den die 
Gleichung 
^7 = o, d - h - [/0 — <*i)/0— «*)•• -/O—«»)] = 0 » 
die das Maximum von P bestimmt, liefert, der wahrscheinliche! 
richtige Werth von A sein wird*). Diese Gleichung giebt 
f(z—a. 2 )...f(z—a n )f'(z—a 1 )^ r f(z—a 1 )f(z—a 3 )...f(z—a n )f / (z- a 2)+- 
+ /0—«l) • • •/(*— a n-i)f' 0—«») = 0, 
oder wenn man durch f(z — a x ) ... f(z — a w ) dividirt: 
/'(* — «0 . f'(z — a 2 ) | f'(*—an) _ 0 
f(z — <h) — a 2) ’ ' * ' f(? — <*n) 
f‘i* 
Ist 
^ = F(z — Cli), 
d. h. eine bestimmte Function 
f(z — a x ) 
von z — a x , so kann man offenbar die Gleichung (1) auch schreiben 
F(z — dj) -f- F(z — a 2 ) -j- F(z — « 3 ) —|—... —j— F(z — a n ) = 0, (1') 
aus der nun z zu bestimmen ist. 
*) Man kann zu demselben Ergebniss auch auf folgendem Wege gelangen: 
Der wahre Werth von A (d. h. 2) ist unbekannt; n Beobachtungsfehler sind 
gemacht worden, deren Werthe freilich andere sein werden, je nachdem ein 
anderer Werth von 2 gewählt wird; P ist die zum Voraus berechnete Wahr 
scheinlichkeit des Eintreffens der n Fehler 2 — a M ..., z — a», wenn 2 der 
wahre Werth von A ist; in der Unmöglichkeit, in der wir uns befinden, über 
jenen wahren Werth zu entscheiden, werden wir uns damit behelfen, dass 
wir den Werth von 2 wählen, für den die Wahrscheinlichkeit des Erscheinens 
von n Beobachtungsfehlern die gfösste ist, was unmittelbar zu obiger Glei 
chung führt. 
Beobach 
setzen, 
als nega 
wird, je 
je gleich 
den seiei 
nehmen, 
d. h, ma 
z — (X1 -|- 
mit ande 
den n 
W ertli 
natürlich 
an die 1 
empfiehlt 
die nicht 
Es darf 
liefern, 
nähere 
nämlich 
F(z — a x 
Falle gie 
welche G 
sammenf 
kommen 
jene Fun 
P 0) 
/0) 
wo k unc 
wenn wir