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Kap. 1. Zur Vorgeschichte der Berührungstransformationen. 
(cc, y) und auf dem Lote zu ihr durch 0 liegt, so erfüllen seine 
Coordinaten die beiden Gleichungen: 
(#i — x)y' — (y x — y) = 0, 
+ ViY = o. 
Hieraus ergeben sich ihre Werte: 
y’{y — xy') y — xy' 
(12) 
1 + y' 
Vx 
1 +y" 
x x , y 1 sind hiermit als Functionen von x, y, y r gegeben. Längs c 
ändern sich x, y, y' um dx, um dy oder y' dx und um dy' oder y" dx. 
Die Incremente dx x , cly x von x x , y x lassen sich berechnen. Es handelt 
sich darum, 
ihr Verhältnis oder yf zu bestimmen. Wegen der 
aus (12) folgenden Relation 
x i = — VxV' 
dx x = — y x dy' — y' dy x , 
dy-i 
ist 
also: 
(13) 
Vi 
dy, 
dx x 
y x y" äx 4- y'dy x 
Andererseits giebt die zweite Formel (12): 
xy' 2 — x — 2yy' 
dy x 
y" dx. 
(i + y’*y 
Setzen wir diesen Wert in (13) ein ; so sehen wir, dass sich der 
Factor y" überall fortliebt. Auch ist in (13) der Wert von y x aus (12) 
einzusetzen. Es kommt dann: 
x — 2 yy' 
(14) 
Vx 
xy 
yy' 
y + 2 xy' 
Diese von y" freie Relation sagt aber aus: Die Richtung y x ' der 
Tangente im Punkte (x X} y x ) der Fusspunkt-Curve hängt nur vom 
Punkte (x, y) und der Tangentialrichtung y' ab, was eben bewiesen 
werden sollte. Deutet man diese Formel geometrisch, so kommt man 
zu der oben gegebenen Tangentenconstruction. 
Aus diesem Ergebnis ziehen wir den Schluss: Berühren sich zwei 
Curven c und c' in einem Punkte (x, y), so berühren sich ihre Fuss- 
punktcurven c x und cf in einem Punkte (x l7 yf), dem Fusspunkte des 
Lotes von 0 auf die gemeinsame Tangente von c und c . Alle Curven 
also, die ein Linienelement (x, y, y') gemein haben, gehen in Curven 
über, die ebenfalls ein Linienelement (x x , y x , yf) gemein haben. Unsere 
Operation ordnet folglich jedem Linienelement (x, y, y') ein Linien-