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I. Abschnitt. § 1. Das bestimmte und das unbestimmte Integral 
jf(x)dx, (39) 
welches dem des bestimmten Integrals nachgebildet ist, aber der Gren 
zen ermangelt. Die Gleichung 
F(x) = j f(cc)dx 
soll die Tatsache ausdrücken, die Funktion F(x) sei eine von den Funk 
tionen, welche fix) als Differentialquotienten geben. 
232. Hauptsatz der Integralrechnung. In Artikel 225 ist von 
der Annahme der Existenz einer stetigen Funktion F(x) ausgegangen 
worden, welche die gegebene Funktion f(x') zum Differentialquotienten 
hat. Auf Grund dessen ergab sich die Gleichung 
71 
m - *•(»)-]£(.*, - *,-,)/'(«;); (40) 
1 
darin bedeutet einen solchen Wert der Variablen aus dem Intervalle 
*,), dali JF(* r ) - F(x r _ t ) - {x r - )/iS/) 
und ein solcher Wert existiert dem Mittelwertsatze (38) zufolge immer. 
Nun ist in 226 bewiesen worden, daß die Summe 
n 
- v- i)/'(U 
i 
mit beständig wachsendem n gegen einen bestimmten Grenzwert konver 
giert, wie auch die Zwischenwerte £ r gewählt worden sind: daher ist auch 
die Wahl t _ £ ' . 
fr fer 
zulässig, d. h. auch die Summe auf der rechten Seite von (40) konvergiert 
gegen diesen bestimmten Grenzwert, welchen wir als das bestimmte Integral 
b 
J f{x)dx 
a 
definiert haben. Da nun die Gleichung (40) zu Recht besteht ohne Rück 
sicht auf die Anzahl der Teilintervalle und das Gesetz der Teilung, so 
gilt auch i> 
F(b) — F(a) = / f(x) dx. 
a 
Dadurch sind wir zu einem Haupisatsc der Integralrechnung gekom 
men, welcher das wichtigste Hilfsmittel zur Berechnung bestimmter In