COMMENSURABILITÉ DES PETITES PLANÈTES ET DE JUPITER 
d’où, en élevant au carré et réduisant, 
4(«1 — •¿n ') 2 n' (n x — n')+ n\n ' 2 sin 2 > o; 
ce qui a bien lieu, car 79 est >* n'. 
Il résulte de là que n, variant périodiquement entre deux limites, l’une infé 
rieure, l’autre supérieure à 2 n', sera nécessairement égal à 2 n' h un moment 
donné. En faisant dans l’équation (78)72= 2 n', et désignant par u t la valeur 
correspondante de u, on trouve 
cos ara u x =■ 
cette quantité est très petite en valeur absolue, car le numérateur est du second 
ordre, etle dénominateur du premier seulement; ainsi am;/, est un peu 
aux deux limites qui correspondent à N' et N", am« = o, ou = tc ; donc n devient 
égal à 2 n' quand am« est sensiblement égal à la moyenne arithmétique de ses 
valeurs extrêmes. 
On voit ainsi que les moyens mouvements sont exactement commensurables 
à un moment donné, sans qu’il en résulte aucune instabilité; les oscillations 
sont régulières de part et d’autre, et la circonstance de la commensurabilité 
exacte se reproduit périodiquement; cela est conforme à ce qu’avait présumé 
M. Newcomb. 
Remarquons que la condition (72), relative à la libration, peut s’écrire 
n x \ 2 \im'e x / dbW\ 
*- 2 ) 
Elle est identique à la condition (9), que nous avons rencontrée dans la méthode 
de Laplace, en tenant compte de la relation approchée