468 CHAPITRE XXVII. 
traire. Sj, S' , SJ, S'", T/, TJ, TJ et TJ' sont des fonctions périodiques de t, déve 
loppables suivant les sinus et les cosinus des multiples de ^r- 
» La constante a et les coefficients de S/, SJ, T, et TJ sont développables suivant 
les puissances de y/u.; ceux de SJ, SJ, TJ et TJ suivant les puissances de a. J’en 
seigne à former toutes ces séries qui sont absolument convergentes. 
» L’exposant a s’appelle exposant caractéristique. Il est réel ou purement ima 
ginaire. Dans le premier cas, la solution périodique sera dite instable, et stable 
dans le second cas. Cette dénomination se justifie aisément, bien qu’elle ne 
doive pas être prise dans un sens absolu, puisque nous avons négligé les carrés 
des £ et des Y). 
» Nous avons vu qu’il y aura au moins deux solutions périodiques du premier 
genre, correspondant à chaque système de valeurs de n { et de n. 2 , commensu- 
rables entre elles. J’ajouterai qu’il y en aura toujours un nombre pair et préci 
sément autant de stables que d’instables. » 
212. « Solutions asymptotiques. — Soit 
— fi = nit-\- Cpi+ 2 {t) (¿= 1 , 2 ), 
une solution périodique quelconque instable. Il existe deux séries de solutions 
particulières remarquables, que j’appellerai solutions asymptotiques. Les solu 
tions asymptotiques de la première série seront de la forme suivante : 
9/(0 +AE-^0J 1, (O -b A 2 E~ 2 az 0J 2, (O + A 3 E- 3 o “0i 3, (O 
n t t + -b AE- a< 0>J4 (O + A 2 E- 2 az 0J 2) 2 (O -b A 3 E~ 3 O “0‘- 3) 2 (O -b... 
(« = J t 2 ). 
A est une constante arbitraire d’intégration, a est l’exposant caractéristique 
(que je suppose positif); les fonctions 0J°(j), GJ 2) (t), . ., (¿=1,2, 3,4) sont 
périodiques, de période T, et développables, par conséquent, comme les <p t -(t) 
par rapport aux sinus et cosinus des multiples de Les coefficients du déve 
loppement sont eux-mêmes des séries dont les termes sont rationnels en y/p. 
» Inutile de faire remarquer que, si l’on reprend les notations du paragraphe 
précédent, on a 
^’(0 = 8 ;, 0 U>(O = t;, 
» Les séries (3) sont convergentes pour les valeurs de t suffisamment grandes. 
On voit que, quand t croit indéfiniment, les solutions représentées par les 
équations (3) se rapprochent indéfiniment de la solution périodique. 
» Les solutions asymptotiques de la seconde sorte seront de la forme suivante 
( x t = 9 AO -bBE a< w/ 1 , (i) -bB 2 E 2 ai &4 2) (0 -b..., 
j y t -mt -b 9/ +s (0-bBE"«üUO + B*E*«wi* , t (0 
Xi~ 
(3) \y t = 
(3 bis)