INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCARÉ. 
B est une nouvelle constante d’intégration, a est encore l’exposant caractéris 
tique; les fonctions w sont de même forme que les fonctions 0 qui entrent dans 
les équations (3). On obtient d’ailleurs les fonctions to si, dans les fonctions 0, on 
change y/p. en — y/ut. Les séries (3 bis) convergent pour les valeurs de t néga 
tives et suffisamment grandes; quand t tend vers—co, les solutions qu’elles 
représentent se rapprochent asymptotiquement de la solution périodique. 
» Solutions doublement asymptotiques. — Il existe une infinité de solutions qui 
appartiennent à la fois aux deux séries, et qui sont, par conséquent, représen 
tées par les équations (3) pour les valeurs de ¿positives et très grandes, et par 
les équations (3 bis ) pour les valeurs de t négatives et très grandes. 
» L’orbite, d’abord très peu différente de celle qui correspond à une solution 
périodique, s’en éloigne peu à peu, et, après s’en être écartée beaucoup, finit 
par s’en rapprocher asymptotiquement. 
» L’existence des solutions doublement asymptotiques est un point d’une dé 
monstration très délicate et qui m’a donné beaucoup de peine. En effet, les sé 
ries (3) ne convergent que pour des valeurs de t positives et très grandes, les 
séries (3 bis) pour des valeurs de t négatives et très grandes. Il y a, générale 
ment, un intervalle où aucune des deux séries ne converge. » 
213.« Divergence des séries. — Les considérations qui précèdent peuvent 
permettre d’établir que les séries habituelles de la Mécanique céleste sont 
divergentes : ce n’est pas qu’elles ne puissent néanmoins être utilement em 
ployées; en effet, il peut arriver que les termes d’une série décroissent d’abord 
très rapidement pour croître ensuite indéfiniment, et, par conséquent, que 
cette série, quoique divergente, puisse servir à représenter une fonction avec 
une approximation très grande, mais non indéfinie. Tel est le cas de la série 
célèbre de Stirling et de quelques développements usités en Physique mathé 
matique. Tel est aussi celui des séries de la Mécanique céleste, et l’approxima 
tion qu’elles fournissent est très suffisante pour les besoins de la pratique. Ce 
que je veux dire de leur divergence n’est donc pas une raison pour en proscrire 
l’usage. 
» Les séries de M. Lindstedt ne peuvent pas converger uniformément pour 
toutes les valeurs de la constante d’intégration qui y entre; on démontre, en 
effet, que, s’il en était ainsi, il n’y aurait pas de solutions asymptotiques. 
» Je prendrai comme second exemple certaines séries dérivées des séries (3) 
et (3 bis). La série (3) converge; mais nous avons vu que ses coefficients peu 
vent eux-mêmes se développer en séries convergentes dont les termes sont ra 
tionnels en y/pï; quand on a fait ce développement, la série (3) reste encore 
convergente. 
» Supposons maintenant que l’on développe ces fonctions rationnelles de y/ pi