CHAPITRE XXVII. 
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suivant les puissances de \/p.; ce développement sera possible pour chacune 
d’elles. Mais, si l’on ordonne ensuite la série (3) suivant les puissances crois 
santes de la série ainsi obtenue devient divergente; on démontre, en effet, 
que, si elle convergeait, toute solution asymptotique deviendrait doublement 
asymptotique, ce qui n’a pas lieu. 
» Le développement auquel on parvient de la sorte et qui, bien que divergent, 
peut rendre des services au même titre que ceux de M. Lindstedt, se met sous 
forme élégante, si l’on élimine t et A entre les quatre équations (3) par les 
règles ordinaires du calcul. On trouve, en effet, que x K et x 2 s’expriment en 
séries ordonnées suivant les puissances de vV et suivant les sinus et cosinus 
des multiples de — et de —• 
r 2 2 
» Non-existence des intégrales uniformes. — Les équations (i) admettent 
une intégrale qui s’écrit 
F(¿r,, y u y. 2 )—.C. 
C’est l’intégrale des forces vives : le premier membre est uniforme par rapport 
ax 1 ,x 2 ,y 1 ety 21 périodique et de période i'r. par rapport ky i et j 2 , dévelop 
pable suivant les puissances de p.. 
« Je dis qu’il n’y a pas d’autre intégrale de même forme, c’est-à-dire que les 
équations (i) ne peuvent admettre une intégrale 
< ^(^i,x î ,y l ,y 2 ) = C 
distincte de la première, et où <ï> soit périodique en y, et y 2 , développable sui 
vant les puissances de p., et uniforme pour toutes les valeurs réelles de y t et y 2 , 
pour les valeurs suffisamment petites de p. et pour les valeurs de x { et de x 2 
comprises dans un certain domaine. 
» On démontre en effet que, s’il en était ainsi, les séries de M. Lindstedt 
convergeraient. Ce résultat est d’ailleurs susceptible d’être généralisé de plu 
sieurs manières. » 
214. « Forme des orbites. — On peut se proposer de dessiner les courbes 
correspondant aux diverses solutions particulières dont je viens de parler, et j’ai 
l’intention de revenir sur ce point dans un autre article. Pour cela, le mieux est 
de considérer deux axes mobiles, à savoir : la droite AB et une perpendicu 
laire à AB, menée par le centre de gravité du système, et de chercher à dessiner 
la trajectoire relative du corps C par rapport à des axes mobiles. 
» Dans le cas des solutions périodiques, cette orbite relative est une courbe 
fermée; dans le cas des solutions asymptotiques, c’est une courbe en spirale se 
rapprochant asymptotiquement d’une courbe fermée. 11 convient d’ajouter que 
les diverses spires se recoupent mutuellement.