Für eine Oberfläche , die durch die Rotation irgend einer 
krummen Linie um die Axe der x entstanden ist, ist die Glei 
chung der Oberfläche 
(« =. cp (r, X) = o 
wo r 5 = y 5 -f- z 2 oder 
r d r = ydy-f-z dz, 
und daraus folgt, 
also wird die erste der Gleichungen I. 
z d. 
dy 
d s 
yd 
d 7. 
ds 
= o 
deren Integral, für d s = Const. 
z dy — ydz = Ads - - - (III.) 
wo A die Constante der Integration ist. Diese Gleichung III. 
mit der gegebenen Gleichung 
<p (r, x) = o 
reicht hin , die gesuchte kürzeste Linie zu bestimmen. 
11 . Man könnte dieselben Gleichungen noch einfacher durch 
folgende Betrachtungen finden. Die geodätische Linie ist nach dem 
Vorhergehenden einerley mit der, welche ein auf der gegebe 
nen Oberfläche zwischen den beyden Punkten frey gespann 
ter Faden beschreiben würde. Der Faden ist aber dann frey 
gespannt, oder alle seine Punkte sind dann unter einander im 
Gleichgewicht, wenn der Druck, welchen die Spannung auf 
die Oberfläche ausübt, in allen Punkten des Fadens senkrecht 
auf diese Oberfläche ausgeübt wird. Dieser Druck hat aber be 
kanntlich immer in der Ebene des Krümmungshalbmessers statt: 
also ist die kürzeste Linie auf einer Fläche die , deren Krüm 
mungshalbmesser alle auf dieser Fläche senkrecht stehen. 
Ist also 
K = cp (x y z) — o 
die Gleichung der Fläche , und 
x -f Ay -f Bz — o 
die Gleichung der Ebene der Krümmungshalbmesser, so ist die 
Gleichung der die Fläche berührenden Ebene