320 II. Curven und Flächen: B) Flächen zweiten Grades. 87. 
anderen Geraden der Ebene /„ t 2 zwei, sondern drei unendlich 
nahe Nachbar-Punkte gemein haben. Weil in F olge dessen 
jeder durch i oder t* geführte ebene Schnitt der Fläche mit 
t respective t* in P drei auf einander folgende Punkte ge 
mein oder diese Gerade zur Inflexionstangente mit dem Be 
rührungspunkte P hat, so sollen t, t* die Inflexionstan- 
genten der Fläche im Punkte P heissen — man nennt sie 
auch die Haupttangenten. 
Fig. 175. 
Je nach der Natur des Doppelpunktes P in der Schnitt- 
curve der Tangentialebene (§ 62.) als einfacher Doppelpunkt, 
als Rückkehrpunkt oder als isolierter Punkt — für solche 
Punkte ebener Curven zeigt sich hier ihre geometrische Ent 
stehung — sind diese Inflexionstangenten entweder reell und 
verschieden oder sie decken sich oder sie sind nicht reell. 
Und man unterscheidet hiernach (vergl. § 102.) hyperbolische 
Punkte der Fläche d. i. solche mit reellen und verschiede 
nen Inflexionstangenten von parabolischen Punkten der 
Fläche oder solchen mit vereinigten Inflexionstangenten und 
von elliptischen Punkten derselben mit nicht reellen In 
flexionstangenten. (Fig. 175.) 
1) Im Allgemeinen schneiden sich zwei Flächen von den Ord 
nungen m y und m 2 in einer Raumcurve von der Ordnung m y m 2 \ 
drei Flächen von den respectiven Ordnungen m l , m 2r m 3 haben eine 
Gruppe von m 1 m 2 m 3 Punkten mit einander gemein, 
2) Man sagt, zwei Flächen berühren einander im Punkte P, 
wenn sie diesen Punkt gemein und einerlei Tangentialebene in ihm 
haben. Zwei Flächen berühren einander längs einer Curve, wenn 
sie alle ihre Punkte gemein und in jedem derselben die nämliche 
Tangentialebene haben. Man sagt dann, sie seien einander nach 
dieser Curve um- und eingeschrieben. 
3) Das elementare Beispiel der Kugel zeigt den Character der 
elliptischen Punkte; der Berührungspunkt ist als ein Kreis von unend 
lich kleinem Radius anzuseben, die Tangenten an denselben von seinem 
Mittelpunkte aus sind die von da nach den imaginären Kreispunkten 
der Ebene gehenden Geraden; sie liegen ganz auf der Kugelfläche. 
4) Die parabolischen Punkte einer Fläche bilden im Allge