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W =. o = X* ~j~ ) 2 -f* Z 2 2 Ä U X 
wo « eine gegen die Einheit Kleine Gröfse ist, deren Quadrat 
wir vernachlässigen wollen, und wo u als eine Function von x 
und y angesehen werden Kann. 
Die angenonxmene Gleichung gibt 
Suhsliluirt man diese Werthe in den Gleichungen II. des 
§• 6., das heifst, in den Gleichungen der kürzesten Linie zwi 
schen zwej gegebenen Punkten auf der Oberfläche der Erde, 
so hat man 
xd=/_}'d*x = « (£") 
xd c z—zd 2 x —a ^ z 
* yd 2 z zd 2 y = u d® z 
Es scy r der von dem Mittelpunkte der Erde an seiner Ober 
fläche gezogene Halbmesser , 3 der Winkel dieses Halbmessers 
mit der Umdrehungsaxc der z, und x der Winkel der Axe der 
x mit dem in der Ebene der xy projicirten Halbmesser, so ist 
x = r Sin 3 Cos x 
y = r Sin 3 Sin x 
z = r Cos 3 
Die DifTerentialien dieser Ausdrücke in Beziehung auf r. 3 , 
X geben 
xdy — ydx = r 2 dx Sin 2 3 
x d z — z d x = r 2 (d X Sin 3 Cos 3 Sin x — d 3 Cos x) 
zdy — y dz = r* (d x Sin 3 Cos 3 Cos X + d 3 Sinx) 
also auch 
(x d z — z d x) Cos X -}- (y d z — z d y) Sin X = — r * d 3 
und endlich 
d s 2 = d x 5 -{- d y 2 -{- dz 5 = dr 4 + r 2 d 3* -f r 4 d X* Sin *3 
I. Man suche nun zuerst das Yerhältnifs von. tl 3 und d s.