9- Zwischen der Grösse x' y z und m n p gibt es mehrere 
Combinationen , die man leicht aus den beyden Gleichungen 
0 = m x' -j- n y' + p z 
_ /2 ■ /2 ■ #2 
1 = X + y + z 
ableiten wird. Man findet so , wenn man der Kürze wegen 
r ! = m 2 -f- n 2 -{- p 2 setzt, erstens zwischen den Grössen m n p 
selbst folgende Gleichungen 
m 2 r 2 -f- n a p 2 = (m 2 -f- n 2 ) (m 2 -f- p 2 ) 1 
n 2 r 2 -|-m 2 p 2 = ( n 2 -f- m ! ) ( n 2 -f- p 2 ) l 
p 2 r 2 +m 2 n 2 = (p 2 +m 2 ) (p 2 + n 2 )J 
und zwischen ihnen und den Grössen x y' z folgende 
y' (m y' —■ n x') — z' (p x' — m z') = m j 
z (n z — p y') — x' (m y' — n x') = n S- 
x’ (p x' — mz) — y' (n z — p y) = pj 
tmd daraus 
(my’ — n x') 2 = m} + n 1 — r 2 z ,2 l 
(p x' — m z') 2 = p 2 -j-m 2 — r 2 y^' 2 > 
(n z — p y') 2 = p 2 + n 2 — r 2 x ,2 J 
io. Die in 8 und 9 entwickelten Ausdrücke geben verschie 
dene merkwürdige Relationen zwischen den Grössen d e f . . . , 
von welchen die vorzüglichsten sind 
tg f = 
tg f = 
Sin e' Cos d'~ 
Sin e" Cos d 
Sin e" Cos d 
Sin e Cos d" 
Sin e Cos d" 
Sin e ’ Cos d'^ 
Cos d =Cosf Cos e =Sin f'Cos e' i 
Cosd'=Cos f'Cos e"=Sin f Cos e l 
Cos d"=Cos f Cos e' =Sin f'Cos e'f 
Cos g = Sin b Cos d' + Cos b Cos d = Sin d" Cos (f — b) J 
Cos g' = Sin b' Cos d -|- Cos b' Cos d'' = Sin d' Cos (f' — b')J» 
Cos g"= Sin b'' Cos d"+ Cos b" Cos d' = Sin d Cos (f" —b")J 
*8 8 = 
tg 8 ' = 
tg g"= 
Cotg d" 1 
Sin a Cos (f —b)l 
Cotg d' I 
Sin a' Cos (f'-J-b ) 
Cotg d 
Sin a"Cos(f'—b")