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so ist der vorhergehende Ausdruck 
f (y) = j z -f x 9 z . D ij) z -f- f D . [(9 z) 2 D if> z] + 
j 3 D 2 . [(9 z) 3 D i]> z] -f- ... (I) 
Mit Hülfe dieses Satzes lassen sich eine grosse Anzahl ande 
rer verwandter Aufgaben auflösen. Ist z. ß. 
y = x 9 (a —x) gegeben, und daraus t/> (A-{-x) zu suchen, wo 
a und Ä von einander unabhängige Grössen sind, so ist 
if> (A + x) = -^ A + y (9 a) ~ 1 . DfA-f f D [(9 a) “ ! . D tJ> A] -\~ 
j D' [(9 a) ~ 3 D ij> A] -f- wo D a = D A = 1 gesetzt wird. 
Ist eben so x = (y — a) 9 y gegeben , und i/> (y) zu suchen , 
so ist 
1j> (y) = ib ax (<p a) ~ 1 I) ij> a f 7 I) [(9 a) ~ 2 D i/> a] 
4 -f 3 D [(9 a) ~ 3 D ij) a] -f- . . wo D a = 1 ist. 
Selbst noch mehr zusammengesetzte Ausdrücke lassen sich 
auf die gefundene Reihe I reduciren. Ist z. ß. 
u = F (z + x 9 u) 
wo F und 9 Functionen bezeichnen, und sucht man eine dritte 
Function von u, die ich durch 1 j> u ausdrücke-, so sey 
y = z -f- x 9 u, also u = Fy oder 9 u = 9 F y und daher 
y — z = x 9 Fy oder o = z — y -f- x 9 Fy 
Vergleicht man den letzten Ausdruck]: mit dem oben entwi 
ckelten 
o —- z — y —J— x 9 y 
so ist sofort 
$ (u) = If, F z + X (9 F z) D (4 F z) + f D [(9 F z) 2 D (fFz)] + 
f 3 D 2 [(9 F z) 3 D (f F z)] + 
Durch andere Betrachtungen findet man aber für dieselbe 
Grösse noch den Ausdruck 
^(u) = ^F . {z+x. 9 Fz+f 2 D(9F z) 2 + f 3 D (9 F z) 3 + ..} 
und beyde Ausdrücke von ij> (u) einander gleichgesetzt führen zu 
anderen interessanten Entwicklungen, zu denen hier nicht der 
Ort ist. Man wird sie und vieles andere wichtige finden in Arbo 
gasts Calcul des derivations, Strassburg 1Ö00.