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Man nennt eine solche Achse, welche durch die Rotation 
des Körpers um sie keinen Druck leidet, eine fr eye Achse. 
Ein Körper wird sich also um jede seiner drey Coordinaten,ach - 
sen x, y, z frey drehen können, oder jede dieser drey Achsen 
wird eine freye Achse seyn, wenn man hat 
fxy dm = o , fx z dm = o, f y z dm = o 
I. Ein Körper, der um eine solche freye Achse rotirt, ohne dafs 
äufsereKräfte auf ihn wirken, setzt seine Rotation um diese freye 
Achse mit der einmahl erhaltenen Winkelgeschwindigkeit unver 
ändert fort, und die Achse hleibt unbeweglich, gleichsam als 
wenn sie befestigt wäre, ohne dafs eine Kraft, sie zu halten, 
erfordert wird. So sind z. D. die drey conjugirten Durchmes 
ser a, b, c eines homogenenEllipsoids zugleich die drey freyen 
Achsen desselben. Denn nimmt man diese Durchmesser für die 
Achsen der x, y, z, so fällt der Anfangspunkt dieser Coordina 
teli in den Mittelpunkt des Körpers, welcher zugleich der Schwer 
punkt desselben ist, und man hat für die Gleichung seiner Ober 
llüche . . i .. , 
a 5 b s z 5 -f- a s c 3 y 9 -f- b a c 5 x' =, a a b a c* 
Jede der drey coordinirten Ebenen der xy, xz, und yz theilt 
diesen Körper in zwcy gleiche und ähnliche Hälften. Betrachtet man 
also z. B. irgend ein Element dm des Körpers über der Ebene 
der xy, zu welchem die drey Coordinateli x , y, z gehören, so 
wird es immer ein anderes, jenem an Masse gleiches Element 
unter der Ebene xy geben, dessen Coordinateli x, y , und— z 
sind, so dafs die Differenzialien x z dm , und yzdm, welche zu 
diesen beyden Elementen gehören, für die erste xzdm und 
— xzdm, und für die zweyte yzdm, und — yzdm seyn wer 
den, wo daher jedes der beyden lntegralien/x z dm und f yz dm 
die Summe einer unendlichen Anzahl von Diffcrentialien ist, die 
sich gegenseitig paarweise aufheben , so dafs also diese beyden 
Integralien J x z dm und J y z dm, und eben so auch fxy dm für 
diesen Körper immer gleich Null seyn werden, wenn nur die 
Achsen der x, \, z den Durchmessern a, b, c parallel sind, 
und beyde sich in dem Mittelpunkte öder dem Schwerpunkte des 
Körpers schneiden. 
Es sey die Gleichung der Oberfläche eines Körpers durch 
drey willkührliche senkrechte Coordinaten x , y , z gegeben, 
die sich in dem Schwerpunkte des Körpers durchschneiden. Man 
suche die Lage der freyenRotationsachse desKörpers gegen jene 
drey gegebenen Coordinatenachsen der x, y , z. 
Zu diesem Zwecke wollen wir zuerst die drey senkrechten 
Coordinaten x, y, z auf drey andere ebenfalls unter sich senk 
rechte Coordinaten x', y', z' bringen, die denselben Anfangs 
punkt haben, und so liegen, dafs die neue Ebene x 1 y* gegen